Напишите, желательно, решение на листочке и сфотографируйте.

Показать ответ

Ответ:

Lenokguryhr

08.03.2023 02:09

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{4}-(n-1)^{4} }{(n+1)^{3}+(n+1)^{3}}$
Неопределённость оо/оо. Чтобы раскрыть такую неопределённость обычно числитель и знаменатель делят на эн в максимальной степени. Для этого достаточно раскрыть скобки, привести подобные, найти эн в максимальной степени и разделить числитель и знаменатель на него.
Что мы и проделаем, но попутно будем делать упрощения, если получится. Для удобства сначала числитель преобразуем, потом знаменатель.

Числитель раскладываем по формуле разности квадратов. Причём два раза.
$(n+1)^{4}-(n-1)^{4}=((n+1)^{2}-(n-1)^{2})*((n+1)^{2}+(n-1)^{2})=$
$=((n+1)-(n-1)) * ((n+1)+(n-1)) * ((n+1)^{2}+(n-1)^{2})=$
$=( n+1-n+1) * (n+1+n-1) * (n^{2}+2n+1+n^{2}-2n+1)=$
$=2 * 2n * (2n^{2}+2)=4n*2(n^{2}+1)=8n(n^{2}+1)$

Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов
$(n+1)^{3}+(n+1)^{3}=$
$=((n+1)+(n-1))*((n+1)^{2}-(n+1)(n-1)+(n-1)^{2})=$
$=2n*(n^{2}+2n+1-n^{2}+1+n^{2}-2n+1)=2n*(n^{2}+3)$

Находим отношение числителя к знаменателю
$\frac{8n(n^{2}+1)}{2n*(n^{2}+3)} = \frac{4(n^{2}+1)}{n^{2}+3}$

Вот теперь переходим непосредственно к нахождению предела. Находим, что максимальная степень эн - это квадрат. Вот на эн в квадрате ( $n^{2}$ ) и будем делить числитель и знаменатель
$\lim_{n \to \infty} \frac{4(n^{2}+1)}{n^{2}+3}= \lim_{n \to \infty} \frac{4*(1+ \frac{1}{ n^{2}})}{1+ \frac{3}{n^{2}}}= \frac{4*(1+ \frac{1}{oo^{2}})}{1+ \frac{3}{oo^{2}}}= \frac{4(1+0)}{1+0} =4$

При подстановке бесконечности получаем деление константы на бесконечность, что равно нулю.

0,0(0 оценок)

Ответ:

Фарук11

24.04.2023 10:07

просто подряд подставлять целые

при k=-2 имеем корни

$x_1=-\frac{\pi}{3}-4\pi=\frac{-13\pi}{3},\\x_2=\frac{4\pi}{3}-4\pi=-\frac{8\pi}{3},\\x_3=\frac{\pi}{2}-2\pi=-\frac{3\pi}{2}$

Первые два в промежуток не попадают, третий - попадает.

при k=-1 имеем корни

$x_1=-\frac{\pi}{3}-2\pi=-\frac{7\pi}{3},\\x_2=\frac{4\pi}{3}-2\pi=-\frac{2\pi}{3}\\x_3=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2}$ ,

первый корень в промежуток не попадает, другие два - попадают.

Если подставлять $k\geq 0$ , то увидим, что полученные в итоге корни уже не будут вписываться в границы отрезка.

универсальный, но не очень удобный): оценить и проверить, при каких целых неравенство $-2\pi\leq x\leq -\frac{\pi}{2}$ имеет решение. Для этого все серии корней по отдельности подставляем вместо :

$1) -2\pi\leq -\frac{\pi}{3}+2\pi k\leq -\frac{\pi}{2} |\cdot\frac{3}{\pi} ,\\-6\leq -1+6k \leq -\frac{3}{2}|+1\\-5\leq 6k\leq -\frac{1}{2} |:6\\-\frac{5}{6}\leq k\leq -\frac{1}{12}.$

Очевидно, что целых , удовлетворяющих последнему неравенству, не существует. Т.е. ни один из корней этой серии промежутку не принадлежит.

$2) -2\pi\leq \frac{4\pi}{3}+2\pi k \leq -\frac{\pi}{2}|\cdot\frac{3}{4\pi}\\ -\frac{3}{2} \leq 1+\frac{3}{2}k\leq -\frac{3}{8}|-1\\-\frac{5}{2}\leq \frac{3}{2}k\leq -\frac{11}{8}|\cdot\frac{2}{3}\\-\frac{5}{3}\leq k\leq -\frac{11}{12}$

Последнему неравенству удовлетворяет только одно целое - k=-1 . Корень находим при подстановке значения в соответствующую серию.

То же можно проделать с третьей серией и убедиться, что неравенство удовлетворяют только 2 значения k: k=-2 и k=-1 . Их также подставляем в соответствующую серию и находим корни.