Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида
sinx\vee a,
cosx\vee a,
tgx\vee a,
ctgx\vee a,
где \vee – один из знаков <,\;>,\;\leq,\;\geq, a\in R.
Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I, часть II).
круг тригонометрический
Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.
Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.
Пример 1. Решить неравенство: cosx<\frac{1}{2}.
Решение:
Отмечаем на оси косинусов \frac{1}{2}.
Все значения cosx, меньшие \frac{1}{2}, – левее точки \frac{1}{2} на оси косинусов.
87
Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше \frac{1}{2}.
ен
Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки \frac{\pi}{3} до \frac{5\pi}{3}.
Обратите внимание, многие, назвав первую точку \frac{\pi}{3}, вместо второй точки \frac{5\pi}{3} указывают точку -\frac{\pi}{3}, что неверно!
Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения x:
\frac{\pi}{3}+2\pi n Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».
Не забываем «накидывать» счетчик 2\pi n,\;n\in Z.
Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:
тригонометрические неравенства
Пример 2. Решить неравенство: cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.
Решение:
Отмечаем на оси косинусов -\frac{\sqrt2}{2}.
Все значения cosx, большие или равные -\frac{\sqrt2}{2} – правее точки -\frac{\sqrt2}{2}, включая саму точку.
Тогда выделенные красной дугой аргументы x отвечают тому условию, что cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.
г-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.
Пример 3. Решить неравенство: sinx\geq -\frac{\sqrt3}{2}.
Решение:
Отмечаем на оси синусов -\frac{\sqrt3}{2}.
Все значения sinx, большие или равные -\frac{\sqrt3}{2}, – выше точки -\frac{\sqrt3}{2}, включая саму точку.
67
«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:
6 -\frac{\pi}{3}+2\pi n \leq x\leq \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z
Пример 4. Решить неравенство: sinx<1.
Решение:
Кратко:
л
\frac{\pi}{2}+2\pi n или все x, кроме \frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.
Пример 5. Решить неравенство: sinx\geq 1.
Решение:
Неравенство sinx\geq 1 равносильно уравнению sinx=1, так как область значений функции y=sinx – [-1;1].
78н
x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.
Пример 6. Решить неравенство: sinx<\frac{1}{3}.
Решение:
Действия – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.
Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.
89
\pi -arcsin\frac{1}{3}+2\pi n Если не очень понятно, загляните сюда –>+ показать
sinx\vee a,
cosx\vee a,
tgx\vee a,
ctgx\vee a,
где \vee – один из знаков <,\;>,\;\leq,\;\geq, a\in R.
Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I, часть II).
круг тригонометрический
Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.
Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.
Пример 1.
Решить неравенство: cosx<\frac{1}{2}.
Решение:
Отмечаем на оси косинусов \frac{1}{2}.
Все значения cosx, меньшие \frac{1}{2}, – левее точки \frac{1}{2} на оси косинусов.
87
Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше \frac{1}{2}.
ен
Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки \frac{\pi}{3} до \frac{5\pi}{3}.
Обратите внимание, многие, назвав первую точку \frac{\pi}{3}, вместо второй точки \frac{5\pi}{3} указывают точку -\frac{\pi}{3}, что неверно!
Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения x:
\frac{\pi}{3}+2\pi n
Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».
Не забываем «накидывать» счетчик 2\pi n,\;n\in Z.
Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:
тригонометрические неравенства
Пример 2.
Решить неравенство: cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.
Решение:
Отмечаем на оси косинусов -\frac{\sqrt2}{2}.
Все значения cosx, большие или равные -\frac{\sqrt2}{2} – правее точки -\frac{\sqrt2}{2}, включая саму точку.
Тогда выделенные красной дугой аргументы x отвечают тому условию, что cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.
г-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.
Пример 3.
Решить неравенство: sinx\geq -\frac{\sqrt3}{2}.
Решение:
Отмечаем на оси синусов -\frac{\sqrt3}{2}.
Все значения sinx, большие или равные -\frac{\sqrt3}{2}, – выше точки -\frac{\sqrt3}{2}, включая саму точку.
67
«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:
6 -\frac{\pi}{3}+2\pi n \leq x\leq \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z
Пример 4.
Решить неравенство: sinx<1.
Решение:
Кратко:
л
\frac{\pi}{2}+2\pi n
или все x, кроме \frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.
Пример 5.
Решить неравенство: sinx\geq 1.
Решение:
Неравенство sinx\geq 1 равносильно уравнению sinx=1, так как область значений функции y=sinx – [-1;1].
78н
x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.
Пример 6.
Решить неравенство: sinx<\frac{1}{3}.
Решение:
Действия – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.
Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.
89
\pi -arcsin\frac{1}{3}+2\pi n
Если не очень понятно, загляните сюда –>+ показать