Найди произведение многочлена и одночлена 4p4d(d4p−d4)

Рассмотрим числа 2016² и 2015*2017. Сравним их: 2015*2017 = (2016 - 1)(2016 + 1) = 2016² - 1. Следовательно 2016² > 2015*2017. Теперь составим разность двух исходных чисел (2016/2017)⁴ - (2015/2016)⁵ = 2016⁴/2017⁴ - 2015⁵/2016⁵ = (2016⁴2016⁵ - 2015⁵2017⁴)/2017⁴2016⁵ = (2016⁹ - 2015⁵2017⁴)/2017⁴2016⁵ = ((2016²)⁴2016 - (2015*2017)⁴2015)/2017⁴2016⁵. Рассмотрим разность в числителе: (2016²)⁴2016 - (2015*2017)⁴2015. Так как 2016 > 2015 и выше мы установили, что 2016² > 2015*2017, то и (2016²)⁴ > (2015*2017)⁴, а значит (2016²)⁴2016 > (2015*2017)⁴2015. Отсюда следует, что (2016/2017)⁴ > (2015/2016)⁵.

Многочлен в левой части можно разложить на множители:

, где A, ..., F - некоторые целые коэффициенты. Раскроем скобки в правой части:

Многочлены равны, когда равны коэффициенты при соотвествующих степенях x. Составим систему уравнений (знак системы не пишу):

AD=2

AE+BD=5

AF+EB+CD=-5

BF+EC=-13

CF=-4

6 неизвестных и всего 5 уравнений - не айс. Но нас то, что A, ..., F - целые числа.

Взглянем на первое и последнее уравнение. Имеем 4 различных варианта значений A, D, C, F. Начинаем рассматривать, по порядку, когда найдем хотя бы одно решение системы, то все будет круто и дальше можно будет не продолжать:

A=1, D=2, C=1, F=-4:

E+2B=5

EB=-3

-4B+E=-13

Не забываем о том, что коэффициенты целые и быстро заключаем, что решением являются числа B=3, E=-1. Вот так повезло, с первого раза нашли подходящую систему. Итак

A=1, B=3, C=1, D=2, E=-1, F=-4

Тогда

Уравнение принимает вид:

Дальше решит даже первоклассник