Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции f(x) = 3x^3 - x - 2, нам нужно найти её производную и проанализировать знаки этой производной.
Шаг 1: Найдем производную функции f(x).
Для этого применим правила дифференцирования. Производная функции f(x) равна сумме производных всех её слагаемых:
f'(x) = d(3x^3)/dx - d(x)/dx - d(2)/dx
f'(x) = 9x^2 - 1
Шаг 2: Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки функции.
9x^2 - 1 = 0
9x^2 = 1
x^2 = 1/9
x = ±√(1/9)
x = ±1/3
Шаг 3: Создадим таблицу знаков производной в интервалах, разбивая число нашего интервала, критические точки и другие точки, если они есть.
-----------------------------------------
| x | -∞ | -1/3 | +1/3 | +∞ |
-----------------------------------------
| f'(x) | + | ? | + | + |
-----------------------------------------
Шаг 4: Определение знака производной и промежутков возрастания и убывания.
Мы видим, что производная f'(x) положительна на интервалах (-∞, -1/3) и (1/3, +∞), а в точке -1/3 производная имеет неопределенность (?).
Значит, функция f(x) возрастает на отрезках (-∞, -1/3) и (1/3, +∞).
Шаг 5: Ответ:
Промежутки возрастания функции f(x) = 3x^3 - x - 2: (-∞, -1/3) и (1/3, +∞).
Шаг 1: Найдем производную функции f(x).
Для этого применим правила дифференцирования. Производная функции f(x) равна сумме производных всех её слагаемых:
f'(x) = d(3x^3)/dx - d(x)/dx - d(2)/dx
f'(x) = 9x^2 - 1
Шаг 2: Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки функции.
9x^2 - 1 = 0
9x^2 = 1
x^2 = 1/9
x = ±√(1/9)
x = ±1/3
Шаг 3: Создадим таблицу знаков производной в интервалах, разбивая число нашего интервала, критические точки и другие точки, если они есть.
-----------------------------------------
| x | -∞ | -1/3 | +1/3 | +∞ |
-----------------------------------------
| f'(x) | + | ? | + | + |
-----------------------------------------
Шаг 4: Определение знака производной и промежутков возрастания и убывания.
Мы видим, что производная f'(x) положительна на интервалах (-∞, -1/3) и (1/3, +∞), а в точке -1/3 производная имеет неопределенность (?).
Значит, функция f(x) возрастает на отрезках (-∞, -1/3) и (1/3, +∞).
Шаг 5: Ответ:
Промежутки возрастания функции f(x) = 3x^3 - x - 2: (-∞, -1/3) и (1/3, +∞).