Для нахождения точек экстремума функции y=6x−12cosx в заданном интервале необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найдем производную функции y по переменной x. Для этого мы будем использовать правило дифференцирования суммы и разности функций, а также правило дифференцирования произведения функций:
y' = 6 - 12(cos x)'.
Производная от константы равна нулю, поэтому это упростили до 6 - 12(-sin x).
2. Изучим производную функции y'. Для этого найдем ее нули, то есть значения x, при которых y' равняется нулю или не определена.
6 - 12(-sin x) = 0. Решим это уравнение:
-12(-sin x) = -6,
sin x = 1/2.
Для определенности x будем искать только в заданном интервале x ∈ [-π/2, π]. Так как для sin x значения между -1 и 1, то 1/2 может принять только значения -π/6 и π/6.
3. Для каждого найденного значения x посчитаем значение функции y в этой точке. Для этого воспользуемся исходной функцией:
y = 6x - 12cosx.
Для x = -π/6 получим y = 6(-π/6) - 12cos(-π/6) = -π - 6√3.
Для x = π/6 получим y = 6(π/6) - 12cos(π/6) = π - 6√3.
Таким образом, точками экстремума функции являются x = -π/6 и x = π/6, соответствующие значения y = -π - 6√3 и y = π - 6√3.
Теперь определим характер каждой найденной точки:
Для x = -π/6, значение y меньше, чем значения функции в соседних точках, поэтому это точка локального минимума.
Для x = π/6, значение y больше, чем значения функции в соседних точках, поэтому это точка локального максимума.
Напишем ответ в градусах:
x = -π/6 радиан ≈ -29.79°, и эта точка является точкой локального минимума.
x = π/6 радиан ≈ 29.79°, и эта точка является точкой локального максимума.
1. Найдем производную функции y по переменной x. Для этого мы будем использовать правило дифференцирования суммы и разности функций, а также правило дифференцирования произведения функций:
y' = 6 - 12(cos x)'.
Производная от константы равна нулю, поэтому это упростили до 6 - 12(-sin x).
2. Изучим производную функции y'. Для этого найдем ее нули, то есть значения x, при которых y' равняется нулю или не определена.
6 - 12(-sin x) = 0. Решим это уравнение:
-12(-sin x) = -6,
sin x = 1/2.
Для определенности x будем искать только в заданном интервале x ∈ [-π/2, π]. Так как для sin x значения между -1 и 1, то 1/2 может принять только значения -π/6 и π/6.
3. Для каждого найденного значения x посчитаем значение функции y в этой точке. Для этого воспользуемся исходной функцией:
y = 6x - 12cosx.
Для x = -π/6 получим y = 6(-π/6) - 12cos(-π/6) = -π - 6√3.
Для x = π/6 получим y = 6(π/6) - 12cos(π/6) = π - 6√3.
Таким образом, точками экстремума функции являются x = -π/6 и x = π/6, соответствующие значения y = -π - 6√3 и y = π - 6√3.
Теперь определим характер каждой найденной точки:
Для x = -π/6, значение y меньше, чем значения функции в соседних точках, поэтому это точка локального минимума.
Для x = π/6, значение y больше, чем значения функции в соседних точках, поэтому это точка локального максимума.
Напишем ответ в градусах:
x = -π/6 радиан ≈ -29.79°, и эта точка является точкой локального минимума.
x = π/6 радиан ≈ 29.79°, и эта точка является точкой локального максимума.