Отметим нули выражений, находящихся под знаками модулей. Это х=1 и х=3. Вычислим знаки выражений, находящихся по знаками модулей, в трёх получившихся промежутках:
(х-1) : - - - (1) + + + (3) + + +
(х-3) : - - - (1) - - - - (3) + + +
Теперь рассмотрим, какой вид примет функция , в этих трёх промежутках.
Ищется также, как локальные минимумы и максимумы. 1) Находим точки, где производная от функции не определена. 2) Находим точки, где производная от функции равна 0. 3) Вычисляем значения функции во всех этих точках. 4) Сравниваем значения и находим самое большое и самое маленькое.
Примеры: 1) y = |x|. При x < 0 y ' = -1; при x > 0 y ' = 1 При x = 0 производная не определена. y(0) = 0. Это глобальный минимум. 2) y = 18x^4 - 24x^3 - x^2 + 2x + 1 Производная y ' = 72x^3 - 72x^2 - 2x + 2 = 2(x - 1)(36x^2 - 1) = 2(x - 1)(6x - 1)(6x + 1) = 0 x1 = 1; y(1) = 18 - 24 - 1 + 2 + 1 = -4 - минимум x2 = -1/6; y(-1/6) = 18/6^4 + 24/6^3 - 1/36 - 2/6 + 1 ~ 0,764 x3 = 1/6; y(1/6) = 18/6^4 - 24/6^3 - 1/36 + 2/6 + 1 ~ 1,2083 - максимум 3) y = x*sin x Производная y ' = sin x + x*cos x = 0 Периодическая функция, решения такие: x ~ -11; -8; -5; -2; 0; 2; 5; 8; 11; ... Значения: y(+-11) ~ 2; y(+-8) ~ 1,1; y(+-5) ~ 0,43; y(+-2) ~ 1,8; y(0) = 0 Кажется, здесь глобальных минимума и максимума нет. Чем больше х по модулю, тем больше у.
y=|x-1|+|x-3| , x≥ -1
Отметим нули выражений, находящихся под знаками модулей. Это х=1 и х=3. Вычислим знаки выражений, находящихся по знаками модулей, в трёх получившихся промежутках:
(х-1) : - - - (1) + + + (3) + + +
(х-3) : - - - (1) - - - - (3) + + +
Теперь рассмотрим, какой вид примет функция , в этих трёх промежутках.
1) -1≤ х≤1 : |x-1|=-(x-1)=1-x , |x-3|=-(x-3)=3-x ⇒ y=1-x+3-x , y=4-2x .
Cтроим прямую у=4-2х на промежутке х∈[-1, 1 ] .
2) 1<x≤3 : |x-1|=x-1 , |x-3|=-(x-3)=3-x ⇒ y=x-1+3-x , y=2.
Строим прямую у=2 на промежутке х∈(1,3 ] .
3) x>3 : |x-1|=x-1 , |x-3|=x-3 ⇒ y=x-1+x-3 , y=2x-4 .
Строим прямую у=2х-4 на промежутке х∈(3,+∞) .
График нарисован синим цветом на рисунке.
1) Находим точки, где производная от функции не определена.
2) Находим точки, где производная от функции равна 0.
3) Вычисляем значения функции во всех этих точках.
4) Сравниваем значения и находим самое большое и самое маленькое.
Примеры:
1) y = |x|. При x < 0 y ' = -1; при x > 0 y ' = 1
При x = 0 производная не определена. y(0) = 0. Это глобальный минимум.
2) y = 18x^4 - 24x^3 - x^2 + 2x + 1
Производная
y ' = 72x^3 - 72x^2 - 2x + 2 = 2(x - 1)(36x^2 - 1) = 2(x - 1)(6x - 1)(6x + 1) = 0
x1 = 1; y(1) = 18 - 24 - 1 + 2 + 1 = -4 - минимум
x2 = -1/6; y(-1/6) = 18/6^4 + 24/6^3 - 1/36 - 2/6 + 1 ~ 0,764
x3 = 1/6; y(1/6) = 18/6^4 - 24/6^3 - 1/36 + 2/6 + 1 ~ 1,2083 - максимум
3) y = x*sin x
Производная
y ' = sin x + x*cos x = 0
Периодическая функция, решения такие:
x ~ -11; -8; -5; -2; 0; 2; 5; 8; 11; ...
Значения:
y(+-11) ~ 2; y(+-8) ~ 1,1; y(+-5) ~ 0,43; y(+-2) ~ 1,8; y(0) = 0
Кажется, здесь глобальных минимума и максимума нет.
Чем больше х по модулю, тем больше у.