Решить уравнение: |x+1|-|x-2|+|3x+6|=5.
3|x+2| +|x+1|- |x-2| =5.
- - - + - - + + - + + +
(-2) (-1 ) (2)
a) { x < -2 ; -(3x -6) -(x +1) +(x -2)=5.⇔ { x < -2 ; x = -14/3. ⇒ x = -14/3.
б) { -2 ≤ x< - 1 ; 3x+6 -(x+1) +(x -2)=5.⇔ { -2 ≤ x<- 1 ; x = 2/3.⇒ x ∈∅.
в) { - 1 ≤ x< 2 ; 3x+6 +(x +1) +(x -2)=5.⇔ {-1 ≤ x< 2 ; x = 0. ⇒ x = 0.
д) { x≥ 2 ; 3x+6 +(x +1) - (x -2)=5.⇔ {1 ≤ x< 2 ; x = - 4/3. ⇒ x ∈∅.
ответ: - 14/3 ; 0 .
если число больше 0, и оно есть в обеих сторонах неравенства, то мы можем на него сократить без изменения знака
1. a+b>=0
a^3+b^3 >= a^b + ab^2
(a+b)(a^2-ab+b^2) >= ab(a+b) сокращаем на a+b при a+b = 0 это неравенство превращается в равенсто
a^2-ab+b^2 >= ab
a^2-2ab+b^2>=0
(a-b)^2>=0 квадрат всегда больше равен 0
2. ab>0
a/b + b/a >=2
a/b + b/a - 2 >=0
(a^2+b^2 - 2ab)/ab >=0
(a-b)^2/ab >= 0
ab>0 (a-b)^2>=0 первое по условию , второе по определению квадрата
3. ab/c + ac/b + bc/a >= a+b+c при a b c >0
(a^2b^2/abc + a^2c^2/abc + b^2c^2)/abc - abc(a+b+c)/abc >=0
знаменатель отбросим он всегда больше 0 a*b*c>0
2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - a^2bc - b^2ac - c^2ab)/2 >=0
умножаем на 2 числитель и знаменатель
(a^2b^2 + a^2c^2 - 2a^2bc + a^2b^2 + b^2c^2 - 2b^2ac + a^2c^2+b^2c^2 - 2c^2ab)/2 >=0
(a^2(b^2-2bc+c^2) + b^2(a^2-2ac+c^2) + c^2(a^2-2ab+b^2))/2 >=0
(a^2(b-c)^2 + b^2(a-c)^2 + c^2(a-b)^2)/2 >=0
слева сумма квадратов деленное на положительное число, всегда больше равно 0
Решить уравнение: |x+1|-|x-2|+|3x+6|=5.
3|x+2| +|x+1|- |x-2| =5.
- - - + - - + + - + + +
(-2) (-1 ) (2)
a) { x < -2 ; -(3x -6) -(x +1) +(x -2)=5.⇔ { x < -2 ; x = -14/3. ⇒ x = -14/3.
б) { -2 ≤ x< - 1 ; 3x+6 -(x+1) +(x -2)=5.⇔ { -2 ≤ x<- 1 ; x = 2/3.⇒ x ∈∅.
в) { - 1 ≤ x< 2 ; 3x+6 +(x +1) +(x -2)=5.⇔ {-1 ≤ x< 2 ; x = 0. ⇒ x = 0.
д) { x≥ 2 ; 3x+6 +(x +1) - (x -2)=5.⇔ {1 ≤ x< 2 ; x = - 4/3. ⇒ x ∈∅.
ответ: - 14/3 ; 0 .
если число больше 0, и оно есть в обеих сторонах неравенства, то мы можем на него сократить без изменения знака
1. a+b>=0
a^3+b^3 >= a^b + ab^2
(a+b)(a^2-ab+b^2) >= ab(a+b) сокращаем на a+b при a+b = 0 это неравенство превращается в равенсто
a^2-ab+b^2 >= ab
a^2-2ab+b^2>=0
(a-b)^2>=0 квадрат всегда больше равен 0
2. ab>0
a/b + b/a >=2
a/b + b/a - 2 >=0
(a^2+b^2 - 2ab)/ab >=0
(a-b)^2/ab >= 0
ab>0 (a-b)^2>=0 первое по условию , второе по определению квадрата
3. ab/c + ac/b + bc/a >= a+b+c при a b c >0
(a^2b^2/abc + a^2c^2/abc + b^2c^2)/abc - abc(a+b+c)/abc >=0
знаменатель отбросим он всегда больше 0 a*b*c>0
2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 - a^2bc - b^2ac - c^2ab)/2 >=0
умножаем на 2 числитель и знаменатель
(a^2b^2 + a^2c^2 - 2a^2bc + a^2b^2 + b^2c^2 - 2b^2ac + a^2c^2+b^2c^2 - 2c^2ab)/2 >=0
(a^2(b^2-2bc+c^2) + b^2(a^2-2ac+c^2) + c^2(a^2-2ab+b^2))/2 >=0
(a^2(b-c)^2 + b^2(a-c)^2 + c^2(a-b)^2)/2 >=0
слева сумма квадратов деленное на положительное число, всегда больше равно 0