Умножим обе части уравнения на x^2, чтобы избавиться от знаменателя:
(sin(a/2) * x) = (1/2) * x^2.
Теперь вспомним, что синус может быть представлен в виде корня из единицы минус косинус квадрата угла, а значит sin(a/2) = √(1 - cos^2(a/2)):
√(1 - cos^2(a/2)) * x = (1/2) * x^2.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
(1 - cos^2(a/2)) * x^2 = (1/4) * x^4.
Раскроем скобки:
x^2 - x^2 * cos^2(a/2) = (1/4) * x^4.
Вынесем x^2 за скобки:
x^2 * (1 - cos^2(a/2)) = (1/4) * x^4.
Заменим (1 - cos^2(a/2)) на sin^2(a/2) согласно тригонометрическому тождеству sin^2(a/2) + cos^2(a/2) = 1:
x^2 * sin^2(a/2) = (1/4) * x^4.
Разделим обе части уравнения на x^2:
sin^2(a/2) = (1/4) * x^2.
Теперь заменим x на cos(a/2):
sin^2(a/2) = (1/4) * cos^2(a/2).
Заменим sin^2(a/2) на 1 - cos^2(a/2) согласно тригонометрическому тождеству sin^2(a/2) + cos^2(a/2) = 1:
(1 - cos^2(a/2)) = (1/4) * cos^2(a/2).
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
4 - 4 * cos^2(a/2) = cos^2(a/2).
Сгруппируем члены справа:
4 = 5 * cos^2(a/2).
Разделим обе части уравнения на 5:
cos^2(a/2) = 4/5.
Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:
cos(a/2) = ±√(4/5).
На данном этапе, мы получили два возможных значения для cos(a/2). Однако, чтобы определить конкретное значение, нам необходимо знать диапазон угла a. Если a находится в диапазоне от 0 до π/2, то cos(a/2) будет положительным. Если a находится в диапазоне от -π/2 до 0, то cos(a/2) будет отрицательным.
Таким образом, в данном случае мы получим два возможных значения cos2a:
Известно, что tg a/2 = 1/2. При этом, tg a/2 = sin(a/2)/cos(a/2), поэтому мы можем записать соотношение sin(a/2)/cos(a/2) = 1/2.
Разделим числитель и знаменатель дроби sin(a/2)/cos(a/2) на cos(a/2:
sin(a/2)/cos(a/2) / cos(a/2)/cos(a/2) = (sin(a/2) * cos(a/2)) / cos^2(a/2) = 1/2.
Теперь у нас есть уравнение, с которым мы можем работать. Для удобства, введем новую переменную x = cos(a/2):
(sin(a/2) * cos(a/2)) / cos^2(a/2) = 1/2.
(sin(a/2) * x) / x^2 = 1/2.
Умножим обе части уравнения на x^2, чтобы избавиться от знаменателя:
(sin(a/2) * x) = (1/2) * x^2.
Теперь вспомним, что синус может быть представлен в виде корня из единицы минус косинус квадрата угла, а значит sin(a/2) = √(1 - cos^2(a/2)):
√(1 - cos^2(a/2)) * x = (1/2) * x^2.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
(1 - cos^2(a/2)) * x^2 = (1/4) * x^4.
Раскроем скобки:
x^2 - x^2 * cos^2(a/2) = (1/4) * x^4.
Вынесем x^2 за скобки:
x^2 * (1 - cos^2(a/2)) = (1/4) * x^4.
Заменим (1 - cos^2(a/2)) на sin^2(a/2) согласно тригонометрическому тождеству sin^2(a/2) + cos^2(a/2) = 1:
x^2 * sin^2(a/2) = (1/4) * x^4.
Разделим обе части уравнения на x^2:
sin^2(a/2) = (1/4) * x^2.
Теперь заменим x на cos(a/2):
sin^2(a/2) = (1/4) * cos^2(a/2).
Заменим sin^2(a/2) на 1 - cos^2(a/2) согласно тригонометрическому тождеству sin^2(a/2) + cos^2(a/2) = 1:
(1 - cos^2(a/2)) = (1/4) * cos^2(a/2).
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
4 - 4 * cos^2(a/2) = cos^2(a/2).
Сгруппируем члены справа:
4 = 5 * cos^2(a/2).
Разделим обе части уравнения на 5:
cos^2(a/2) = 4/5.
Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:
cos(a/2) = ±√(4/5).
На данном этапе, мы получили два возможных значения для cos(a/2). Однако, чтобы определить конкретное значение, нам необходимо знать диапазон угла a. Если a находится в диапазоне от 0 до π/2, то cos(a/2) будет положительным. Если a находится в диапазоне от -π/2 до 0, то cos(a/2) будет отрицательным.
Таким образом, в данном случае мы получим два возможных значения cos2a:
- cos^2(a/2) = (2/√5)^2 = 4/5,
- cos^2(a/2) = (-2/√5)^2 = 4/5.
Ответ: cos2a = 4/5.