1) Замена (1/4)^x = y > 0 при любом х 4y^2 + 15y - 4 = 0 (y + 4)(4y - 1) = 0 y1 = -4 - не подходит y = 1/4 = (1/4)^x x = 1
2) 3^x = -x + 1 = 1 - x 3^x > 0 при любом х, поэтому 1 - x > 0; x < 1 При x = 0 будет 3^0 = 1 - 0 = 1 - подходит При x ∈ (0; 1) будет 3^x > 1; а 1 - x < 1 - корней нет При x < 0 будет 3^x < 1; 1 - x > 1 - корней нет x = 0
3) 3^x*9*3^(1/5) - ? Здесь нет ни уравнения, ни неравенства
4) 2^(4x) >= 16 2^(4x) >= 2^4 4x >= 4 x >= 1
5) (1/4)^(2x-5) > 1/8 (1/2)^(4x-10) > (1/2)^3 Функция y = (1/2)^x - убывающая, потому что 1/2 < 1. При переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется. 4x - 10 < 3 x < 13/4
6) 5^(2x-3) - 2*5^(x-2) > 3 1/125*5^(2x) - 2/25*5^x - 3 > 0 Умножаем всё на 125 5^(2x) - 10*5^x - 375 > 0 Замена 5^x = y > 0 при любом x y^2 - 10y - 375 > 0 (y - 25)(y + 15) > 0 y = -15 < 0 - нет корней y = 25 = 5^x x = 2
2X^2 - X * ( 2X - 2 ) = 6
2X^2 - 2X^2 + 2X = 6
2X = 6
X = 3
Y = 6 - 2 = 4
ОТВЕТ ( 3 ; 4 )
( X + 2 )*( Y + 1 ) = 12
X + 2Y = 6 ; X = 6 - 2Y
( 6 - 2Y + 2 )*( Y + 1 ) = 12
( 8 - 2Y )*( Y + 1 ) = 12
8Y + 8 - 2Y^2 - 2Y = 12
- 2Y^2 + 6Y - 4 = 0
- 2 * ( Y^2 - 3Y + 2 ) = 0
D = 9 - 8 = 1 ; √ D = 1
Y1 = ( 3 + 1 ) : 2 = 2
Y2 = ( 3 - 1 ) : 2 = 1
X1 = 6 - 4 = 2
X2 = 6 - 2 = 4
ОТВЕТ ( 2 ; 2 ) ; ( 4 ; 1 )
X^2 + Y^2 = 10
XY = - 3
X = ( - 3 / Y ) ; X^2 = 9 / Y^2
( 9 / Y^2 ) + Y^2 = 10
( 9 + Y^4 ) / Y^2 = 10 ( Y ≠ 0 )
9 + Y^4 = 10Y^2
Y^4 - 10Y^2 + 9 = 0
Y^2 = A ; A > 0
A^2 - 10A + 9 = 0
D = 100 - 36 = 64 ; √ D = 8
A1 = ( 10 + 8 ) : 2 = 9
A2 = ( 10 - 8 ) : 2 = 1
Y^2 = 9 ===> Y (1 /2 ) = ( + / - ) 3
Y^2 = 1 ===> Y ( 3/4 ) = ( +/ - ) 1
X^2 = 9 / Y^2
X^2 = 9 / 9 = 1 ===> X ( 1/2 ) = ( + / - ) 1
X^2 = 9 / 1 = 9 ===> X ( 3/4 ) = ( + / - ) 3
ОТВЕТ ( 1 ; 3 ); ( - 1 ; - 3 ); ( 3 ; 1 ) ; ( - 3 ; - 1 )
4y^2 + 15y - 4 = 0
(y + 4)(4y - 1) = 0
y1 = -4 - не подходит
y = 1/4 = (1/4)^x
x = 1
2) 3^x = -x + 1 = 1 - x
3^x > 0 при любом х, поэтому 1 - x > 0; x < 1
При x = 0 будет 3^0 = 1 - 0 = 1 - подходит
При x ∈ (0; 1) будет 3^x > 1; а 1 - x < 1 - корней нет
При x < 0 будет 3^x < 1; 1 - x > 1 - корней нет
x = 0
3) 3^x*9*3^(1/5) - ?
Здесь нет ни уравнения, ни неравенства
4) 2^(4x) >= 16
2^(4x) >= 2^4
4x >= 4
x >= 1
5) (1/4)^(2x-5) > 1/8
(1/2)^(4x-10) > (1/2)^3
Функция y = (1/2)^x - убывающая, потому что 1/2 < 1.
При переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется.
4x - 10 < 3
x < 13/4
6) 5^(2x-3) - 2*5^(x-2) > 3
1/125*5^(2x) - 2/25*5^x - 3 > 0
Умножаем всё на 125
5^(2x) - 10*5^x - 375 > 0
Замена 5^x = y > 0 при любом x
y^2 - 10y - 375 > 0
(y - 25)(y + 15) > 0
y = -15 < 0 - нет корней
y = 25 = 5^x
x = 2