Добрый день! Давайте решим задачу поиска множества значений функции y = 15cos(x) - 8sin(x) + 7 на промежутке (-1; 6].
1. Начнем, определився с тем, как будем решать задачу. Для начала заметим, что функция y = 15cos(x) - 8sin(x) + 7 является тригонометрической функцией. Для поиска ее множества значений, нам потребуются знания о периодах и амплитуде функции.
2. Посмотрим на выражение функции y = 15cos(x) - 8sin(x) + 7. Заметим, что данная функция представляет собой сумму двух тригонометрических функций: y = 15cos(x) - 8sin(x). Для удобства произведем замену x = t - π/4 и определим новые функции u(t) = 15cos(t - π/4) и v(t) = 8sin(t - π/4).
3. Раскроем функции u(t) и v(t) по формуле синуса и косинуса суммы двух углов:
u(t) = 15(cos(t)cos(π/4) + sin(t)sin(π/4)) = 15/√2 (cos(t) + sin(t))
v(t) = 8(sin(t)cos(π/4) - cos(t)sin(π/4)) = 8/√2 (sin(t) - cos(t))
8. Поскольку 23/√2 не равно нулю, то уравнение y(t) = (23/√2)cos(t) + (23/√2)sin(t) представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат в полярной системе координат.
9. Мы знаем, что функция cos(t) принимает значения от -1 до 1, а функция sin(t) также принимает значения от -1 до 1. То есть, когда функция cos(t) = 1 и sin(t) = -1, y(t) принимает наибольшее значение, а когда функция cos(t) = -1 и sin(t) = 1, y(t) принимает наименьшее значение.
10. Так как нас интересует множество значений функции y(t) на промежутке (-1; 6], найдем значения функции y(t) для t = -1 и t = 6.
- При t = -1 получим: y(-1) = (23/√2)cos(-1) + (23/√2)sin(-1).
- При t = 6 получим: y(6) = (23/√2)cos(6) + (23/√2)sin(6).
11. Вычислим значения функции y(-1) и y(6), используя калькулятор или таблицы тригонометрических значений.
12. Окончательное множество значений функции y = 15cos(x) - 8sin(x) + 7 на промежутке (-1; 6] будет представлять собой интервал [минимальное значение; максимальное значение], где минимальное значение - это значение функции y при t = 6, а максимальное значение - это значение функции y при t = -1.
Таким образом, для нахождения множества значений функции y = 15cos(x) - 8sin(x) + 7 на промежутке (-1; 6] необходимо вычислить минимальное и максимальное значение функции y(t) = (23/√2)cos(t) + (23/√2)sin(t) при t = -1 и t = 6 и взять их в качестве границ отрезка.
1. Начнем, определився с тем, как будем решать задачу. Для начала заметим, что функция y = 15cos(x) - 8sin(x) + 7 является тригонометрической функцией. Для поиска ее множества значений, нам потребуются знания о периодах и амплитуде функции.
2. Посмотрим на выражение функции y = 15cos(x) - 8sin(x) + 7. Заметим, что данная функция представляет собой сумму двух тригонометрических функций: y = 15cos(x) - 8sin(x). Для удобства произведем замену x = t - π/4 и определим новые функции u(t) = 15cos(t - π/4) и v(t) = 8sin(t - π/4).
3. Раскроем функции u(t) и v(t) по формуле синуса и косинуса суммы двух углов:
u(t) = 15(cos(t)cos(π/4) + sin(t)sin(π/4)) = 15/√2 (cos(t) + sin(t))
v(t) = 8(sin(t)cos(π/4) - cos(t)sin(π/4)) = 8/√2 (sin(t) - cos(t))
4. Теперь выразим функцию y(t) = u(t) + v(t):
y(t) = 15/√2 (cos(t) + sin(t)) + 8/√2 (sin(t) - cos(t))
5. Преобразуем уравнение: y(t) = (15/√2)cos(t) - (8/√2)cos(t) + (15/√2)sin(t) + (8/√2)sin(t).
6. Сводя подобные члены, получим уравнение: y(t) = ((15 + 8)/√2)cos(t) + ((15 + 8)/√2)sin(t).
7. Упростим: y(t) = (23/√2)cos(t) + (23/√2)sin(t).
8. Поскольку 23/√2 не равно нулю, то уравнение y(t) = (23/√2)cos(t) + (23/√2)sin(t) представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат в полярной системе координат.
9. Мы знаем, что функция cos(t) принимает значения от -1 до 1, а функция sin(t) также принимает значения от -1 до 1. То есть, когда функция cos(t) = 1 и sin(t) = -1, y(t) принимает наибольшее значение, а когда функция cos(t) = -1 и sin(t) = 1, y(t) принимает наименьшее значение.
10. Так как нас интересует множество значений функции y(t) на промежутке (-1; 6], найдем значения функции y(t) для t = -1 и t = 6.
- При t = -1 получим: y(-1) = (23/√2)cos(-1) + (23/√2)sin(-1).
- При t = 6 получим: y(6) = (23/√2)cos(6) + (23/√2)sin(6).
11. Вычислим значения функции y(-1) и y(6), используя калькулятор или таблицы тригонометрических значений.
12. Окончательное множество значений функции y = 15cos(x) - 8sin(x) + 7 на промежутке (-1; 6] будет представлять собой интервал [минимальное значение; максимальное значение], где минимальное значение - это значение функции y при t = 6, а максимальное значение - это значение функции y при t = -1.
Таким образом, для нахождения множества значений функции y = 15cos(x) - 8sin(x) + 7 на промежутке (-1; 6] необходимо вычислить минимальное и максимальное значение функции y(t) = (23/√2)cos(t) + (23/√2)sin(t) при t = -1 и t = 6 и взять их в качестве границ отрезка.