Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=f(x) на промежутках: 1)y=1+3x-x^3/9 на [-9,-4] 2)y=x^2-1/x на [1,2] 3)y=x^2+16/x^2 на [2,4] 4)y=x-корень из x на [1,4] 5)y=(x+2)^2×(x-1) на [-3,1] 6)y=корень из x + 3/корень из x на [1/16,1]
Добрый день! Давайте по порядку рассмотрим каждую из заданных функций и найдем наибольшее и наименьшее значение на указанных промежутках.
1) Функция y = 1 + 3x - x^3/9 на промежутке [-9, -4]:
Для начала найдем точки, где производная функции равна нулю. Для этого возьмем производную функции и приравняем ее к нулю:
f'(x) = 3 - (3/9)x^2 = 3(1 - x^2/9) = 0
1 - x^2/9 = 0
x^2/9 = 1
x^2 = 9
x = ±3
Теперь найдем значения функции в точках x = -9, x = -4 и x = 3:
f(-9) = 1 + 3(-9) - (-9)^3/9 = 1 - 27 + 729/9 = 1 - 27 + 81 = -5
f(-4) = 1 + 3(-4) - (-4)^3/9 = 1 - 12 + 64/9 = 1 - 12 + 7.11 ≈ -3.89
f(3) = 1 + 3(3) - (3)^3/9 = 1 + 9 - 9/9 = 1 + 9 - 1 = 9
Таким образом, на промежутке [-9, -4] наименьшим значением функции является -5, а наибольшим значением функции является 9.
2) Функция y = x^2 - 1/x на промежутке [1, 2]:
Здесь мы не будем искать производную, так как заданная функция является квадратичной и рациональной одновременно. Просто подставим значения границ промежутка и найдем соответствующие значения функции:
f(1) = 1^2 - 1/1 = 1 - 1 = 0
f(2) = 2^2 - 1/2 = 4 - 0.5 = 3.5
На промежутке [1, 2] наименьшим значением функции является 0, а наибольшим значением функции является 3.5.
3) Функция y = x^2 + 16/x^2 на промежутке [2, 4]:
Аналогично предыдущему шагу, подставляем значения границ промежутка и находим значения функции:
f(2) = 2^2 + 16/2^2 = 4 + 4 = 8
f(4) = 4^2 + 16/4^2 = 16 + 1 = 17
На промежутке [2, 4] наименьшим значением функции является 8, а наибольшим значением функции является 17.
4) Функция y = x - корень из x на промежутке [1, 4]:
Также не будем использовать производную и просто найдем значения функции на границах промежутка:
f(1) = 1 - корень из 1 = 1 - 1 = 0
f(4) = 4 - корень из 4 = 4 - 2 = 2
На промежутке [1, 4] наименьшим значением функции является 0, а наибольшим значением функции является 2.
5) Функция y = (x+2)^2 × (x-1) на промежутке [-3, 1]:
Аналогично, просто подставим значения границ промежутка и найдем значения функции:
f(-3) = (-3+2)^2 × (-3-1) = (-1)^2 × (-4) = 1 × (-4) = -4
f(1) = (1+2)^2 × (1-1) = (3)^2 × (0) = 9 × 0 = 0
На промежутке [-3, 1] наименьшим значением функции является -4, а наибольшим значением функции является 0.
6) Функция y = корень из x + 3/корень из x на промежутке [1/16, 1]:
Подставим границы промежутка и найдем значения функции:
f(1/16) = корень из (1/16) + 3/корень из (1/16) = 1/4 + 3/1/4 = 1/4 + 12 = 3.25
f(1) = корень из (1) + 3/корень из (1) = 1 + 3/1 = 1 + 3 = 4
На промежутке [1/16, 1] наименьшим значением функции является 3.25, а наибольшим значением функции является 4.
Таким образом, для каждой из заданных функций мы нашли наименьшее и наибольшее значение на указанных промежутках.
1) Функция y = 1 + 3x - x^3/9 на промежутке [-9, -4]:
Для начала найдем точки, где производная функции равна нулю. Для этого возьмем производную функции и приравняем ее к нулю:
f'(x) = 3 - (3/9)x^2 = 3(1 - x^2/9) = 0
1 - x^2/9 = 0
x^2/9 = 1
x^2 = 9
x = ±3
Теперь найдем значения функции в точках x = -9, x = -4 и x = 3:
f(-9) = 1 + 3(-9) - (-9)^3/9 = 1 - 27 + 729/9 = 1 - 27 + 81 = -5
f(-4) = 1 + 3(-4) - (-4)^3/9 = 1 - 12 + 64/9 = 1 - 12 + 7.11 ≈ -3.89
f(3) = 1 + 3(3) - (3)^3/9 = 1 + 9 - 9/9 = 1 + 9 - 1 = 9
Таким образом, на промежутке [-9, -4] наименьшим значением функции является -5, а наибольшим значением функции является 9.
2) Функция y = x^2 - 1/x на промежутке [1, 2]:
Здесь мы не будем искать производную, так как заданная функция является квадратичной и рациональной одновременно. Просто подставим значения границ промежутка и найдем соответствующие значения функции:
f(1) = 1^2 - 1/1 = 1 - 1 = 0
f(2) = 2^2 - 1/2 = 4 - 0.5 = 3.5
На промежутке [1, 2] наименьшим значением функции является 0, а наибольшим значением функции является 3.5.
3) Функция y = x^2 + 16/x^2 на промежутке [2, 4]:
Аналогично предыдущему шагу, подставляем значения границ промежутка и находим значения функции:
f(2) = 2^2 + 16/2^2 = 4 + 4 = 8
f(4) = 4^2 + 16/4^2 = 16 + 1 = 17
На промежутке [2, 4] наименьшим значением функции является 8, а наибольшим значением функции является 17.
4) Функция y = x - корень из x на промежутке [1, 4]:
Также не будем использовать производную и просто найдем значения функции на границах промежутка:
f(1) = 1 - корень из 1 = 1 - 1 = 0
f(4) = 4 - корень из 4 = 4 - 2 = 2
На промежутке [1, 4] наименьшим значением функции является 0, а наибольшим значением функции является 2.
5) Функция y = (x+2)^2 × (x-1) на промежутке [-3, 1]:
Аналогично, просто подставим значения границ промежутка и найдем значения функции:
f(-3) = (-3+2)^2 × (-3-1) = (-1)^2 × (-4) = 1 × (-4) = -4
f(1) = (1+2)^2 × (1-1) = (3)^2 × (0) = 9 × 0 = 0
На промежутке [-3, 1] наименьшим значением функции является -4, а наибольшим значением функции является 0.
6) Функция y = корень из x + 3/корень из x на промежутке [1/16, 1]:
Подставим границы промежутка и найдем значения функции:
f(1/16) = корень из (1/16) + 3/корень из (1/16) = 1/4 + 3/1/4 = 1/4 + 12 = 3.25
f(1) = корень из (1) + 3/корень из (1) = 1 + 3/1 = 1 + 3 = 4
На промежутке [1/16, 1] наименьшим значением функции является 3.25, а наибольшим значением функции является 4.
Таким образом, для каждой из заданных функций мы нашли наименьшее и наибольшее значение на указанных промежутках.