Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найдите наибольшее значение , которое может принимать выражение x+7y, если известно, что x и y удовлетворяют равенству

Найдите наибольшее значение , которое может принимать выражение x+7y, если известно, что x и y удовл

Показать ответ

Ответ:

Ученик221603

16.08.2021 13:19

ответ: $\frac{57}{8}$

Объяснение:

$\sqrt{xy} + \sqrt{(1-x)(1-y)} = \sqrt{7x(1-y)} +\frac{\sqrt{y(1-x)} }{\sqrt{7} }$

Поскольку:

$\sqrt{xy} \geq 0$

То x,y либо имеют одинаковые знаки, либо один из них равен , но поскольку нас интересует наибольшее значение: x+7y , то целесообразно рассматривать:

$x\geq 0\\y\geq 0$

Откуда, с учетом ОДЗ имеем:

$0\leq x\leq 1\\0\leq y\leq 1$

Поскольку левая и правая часть равенства положительны, то после возведения в квадрат получаем равносильное уравнение ( в данном случае все радикалы не могут быть одновременно равны , также не трудно заметить, что удвоенные произведения в левой и правой части одинаковы и равны $2\sqrt{xy(1-x)(1-y)}$ , поэтому они уничтожаться)

Откуда, получим:

$xy + (1-x)(1-y) = 7x(1-y) + \frac{y(1-x)}{7}$

Применим такой хитрый прием, вычтем из обеих частей равенства удвоенное произведение $2\sqrt{xy(1-x)(1-y)}$ , но тогда слева и справа имеем квадрат разности:

$(\sqrt{xy} - \sqrt{(1-x)(1-y)})^2 = (\sqrt{7x(1-y)} -\frac{\sqrt{y(1-x)} }{\sqrt{7} })^2\\$

Оно равносильно совокупности двух уравнений:

$1.\sqrt{xy} - \sqrt{(1-x)(1-y)} = \sqrt{7x(1-y)} -\frac{\sqrt{y(1-x)} }{\sqrt{7} }\\2. \sqrt{(1-x)(1-y)} - \sqrt{xy} = \sqrt{7x(1-y)} -\frac{\sqrt{y(1-x)} }{\sqrt{7} }$

То есть уравнение:

$\sqrt{xy} + \sqrt{(1-x)(1-y)} = \sqrt{7x(1-y)} +\frac{\sqrt{y(1-x)} }{\sqrt{7} }$

равносильно совокупности двух уравнений, что представлены выше.

То есть, у него с каждым из двух уравнений выше есть общие корни.

Причем, в сумме эти общие корни дают множество корней исходного уравнения.

Cложим исходное уравнение с первым:

$2\sqrt{xy} = 2\sqrt{7x(1-y)} \\\sqrt{xy} = \sqrt{7x(1-y)}\\xy = 7x(1-y)\\x(8y - 7) = 0\\x = 0 \\y = \frac{7}{8}$

В полученном уравнении некоторые зависимости совпадают с зависимостями в исходном уравнении, причем хотя бы одна зависимость подойдет.

Сложим исходное уравнение со вторым:

$2\sqrt{(1-x)(1-y)} = 2\sqrt{7x(1-y)} \\\sqrt{(1-x)(1-y)} = \sqrt{7x(1-y)}\\ (1-x)(1-y) = 7x(1-y)\\(1-y)(1-8x) = 0\\y = 1\\x =\frac{1}{8}$

То есть, если уравнение имеет корни, то их надо искать из множества:

$x = 0\\y =\frac{7}{8} \\y = 1\\x =\frac{1}{8}$

Все корни подходят по ОДЗ.

Подставим y = 1 :

$\sqrt{x} = \frac{\sqrt{1-x} }{\sqrt{7} } \\7x = 1- x\\x = \frac{1}{8}$

Пара подходит и рассматривать дальнейшие пары нет смысла, ибо

$x = \frac{1}{8}$ - наибольшее из возможных, а y = 1 - наибольшее из возможных.

Таким образом, наибольшее значение:

$(x+7y)_{max} = \frac{1}{8} + 7 = \frac{57}{8}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

kostromitind

19.06.2020 02:55

4. Площа грального поля стадіону прямокутної форми дорівнює 525 м. Якщо довжину поля зменшити на 5 м, а ширину збільшити на 10 м, то отримаємо полеплощею 750 м. Знайдіть...

archik4

24.07.2021 20:47

Докажите тождество (a^2+b^2 )(c^2+d^2 )=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2...

влад2253

07.01.2022 14:54

Найдите производную функции у=2х-е^х...

zdavatelzno

07.01.2022 14:54

Три точки a,b,c лежат на одной прямой .известно, что aв=27, ас=35.найдите длину отрезка вс...

dapmoney2p0c8c0

22.01.2020 10:01

Разложить на множители! 25х^2-10хy+y^2 ,...

14569867

06.07.2022 06:28

Записати перших сім членів арифметичної прогресії у якої a1=8 d=4...

gag99

06.05.2020 18:26

Чи належать графіку функції y=5x-7 точки А (1;-12) та В (3;8)?...

elZaCHan1

30.07.2020 20:09

Решите уравнение: ( ) х(8-3х)+11=3(7-х)(х+7) + 8 Ещё формулу которую вы использовали сор...

rafael2008

13.08.2020 04:03

A) (c - 2)(c + 3) - c²...

hnwb

20.05.2020 01:41

Знайти функцию y=5+3x аргумент = 3;0;4;5;...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку