1) a+b+c=0 => a+b=-c => (a+b)³=(-c)³ => a³+3a²b+3ab²+b³=-c³ => => a³+b³+c³=-(3a²b+3ab²) => a³+b³+c³=-3ab(a+b) => a³+b³+c³=-3ab(-c) => => a³+b³+c³=3abc 2) Обратное утверждение: Если a³+b³+c³=3abc, то a+b+c=0 (думаю, имеется в виду, что a+b+c обязательно будет равно 0, и не существует других вариантов). Из утверждения следует, что c³-3abc+a³+b³=0. Допустим, известны числа a и b. Тогда c³-3abc+a³+b³=0 является кубическим уравнением относительно c. Как известно, любое кубическое уравнение с рациональными коэффициентами имеет ровно три корня (необязательно действительных). Отсюда следует, что при фиксированных a и b и при 3-х вариантах c получится три варианта для суммы a+b+c, одним из которых является a+b+c=0. Таким образом, пункт 1 является верным. Пункт 2 не является верным. Найдем другие два варианта для c. Известно, что в уравнении c³-3abc+a³+b³=0 одним из решений является c=-(a+b), так как при подстановке в уравнение получится тождество. Разложим левую часть уравнения на скобки: c³-3abc+a³+b³=(a+b+c)(c²-c(a+b)+a²-ab+b²). Решим уравнение c²-c(a+b)+a²-ab+b²=0 относительно c: D=(-(a+b))²-4(a²-ab+b²)=a²+2ab+b²-4a²+4ab-4b²=-3(a²-2ab+b²)=-3(a-b)²≤0 c1,2=((a+b)+-√3(a-b)*i)/2, где i²=-1, i - мнимая единица. Если D=0, то a=b, а выражение для c примет такой вид: c=(a+b)/2=(a+a)/2=a. Получим, что в этом случае a=b=c, а сумма a+b+c=3a для любого a. Если D<0, то c1=(a+b)/2+i√3(a-b)/2, c2=(a+b)/2-i√3(a-b)/2. А возможные варианты для суммы станут такими: a+b+c=a+b+(a+b)/2+i√3(a-b)/2=3(a+b)/2+i√3(a-b)/2, или a+b+c=a+b+(a+b)/2-i√3(a-b)/2=3(a+b)/2-i√3(a-b)/2
Пусть масса первого раствора х г, тогда в этом растворе х:100·4= 0,04х г соли. Масса второго раствора (х+3496) г, в этом растворе (х+3496):100·73=0,73(х+3496)
Масса нового раствора равна сумме масс первого и второго растворов, т.е. х+(х+3496)=2х+3496 Масса соли в нем 0,48(2х+3496) равна сумме масс соли первого и второго растворов 0,04х+0,73(х+3496). Уравнение: 0,48·(2х + 3496) = 0,04х+0,73·(х+3496); 0,96х + 1678,08 = 0,04х + 0,73х + 2552,08; 0,96х - 0,04х - 0, 73х = 2552,08 - 1678,08; 0,19х = 874; х = 4600. х+3496=4600+3496=8096 г
=> a³+b³+c³=-(3a²b+3ab²) => a³+b³+c³=-3ab(a+b) => a³+b³+c³=-3ab(-c) =>
=> a³+b³+c³=3abc
2) Обратное утверждение:
Если a³+b³+c³=3abc, то a+b+c=0 (думаю, имеется в виду, что a+b+c обязательно будет равно 0, и не существует других вариантов).
Из утверждения следует, что c³-3abc+a³+b³=0. Допустим, известны числа a и b. Тогда c³-3abc+a³+b³=0 является кубическим уравнением относительно c. Как известно, любое кубическое уравнение с рациональными коэффициентами имеет ровно три корня (необязательно действительных). Отсюда следует, что при фиксированных a и b и при 3-х вариантах c получится три варианта для суммы a+b+c, одним из которых является a+b+c=0.
Таким образом, пункт 1 является верным. Пункт 2 не является верным.
Найдем другие два варианта для c.
Известно, что в уравнении c³-3abc+a³+b³=0 одним из решений является c=-(a+b), так как при подстановке в уравнение получится тождество. Разложим левую часть уравнения на скобки:
c³-3abc+a³+b³=(a+b+c)(c²-c(a+b)+a²-ab+b²).
Решим уравнение c²-c(a+b)+a²-ab+b²=0 относительно c:
D=(-(a+b))²-4(a²-ab+b²)=a²+2ab+b²-4a²+4ab-4b²=-3(a²-2ab+b²)=-3(a-b)²≤0
c1,2=((a+b)+-√3(a-b)*i)/2, где i²=-1, i - мнимая единица.
Если D=0, то a=b, а выражение для c примет такой вид: c=(a+b)/2=(a+a)/2=a. Получим, что в этом случае a=b=c, а сумма a+b+c=3a для любого a.
Если D<0, то c1=(a+b)/2+i√3(a-b)/2,
c2=(a+b)/2-i√3(a-b)/2.
А возможные варианты для суммы станут такими:
a+b+c=a+b+(a+b)/2+i√3(a-b)/2=3(a+b)/2+i√3(a-b)/2,
или
a+b+c=a+b+(a+b)/2-i√3(a-b)/2=3(a+b)/2-i√3(a-b)/2
х:100·4= 0,04х г соли.
Масса второго раствора (х+3496) г, в этом растворе
(х+3496):100·73=0,73(х+3496)
Масса нового раствора равна сумме масс первого и второго растворов, т.е. х+(х+3496)=2х+3496
Масса соли в нем 0,48(2х+3496) равна сумме масс соли первого и второго растворов 0,04х+0,73(х+3496).
Уравнение:
0,48·(2х + 3496) = 0,04х+0,73·(х+3496);
0,96х + 1678,08 = 0,04х + 0,73х + 2552,08;
0,96х - 0,04х - 0, 73х = 2552,08 - 1678,08;
0,19х = 874;
х = 4600.
х+3496=4600+3496=8096 г
О т в е т. Масса второго раствора 8096 г