Для решения этой задачи, нужно найти минимальное и максимальное значения функции y = 2x^2 на каждом из данных интервалов:
а) полуинтервал (-3; 1]
б) отрезок [-3;-1]
в) луч [1: +∞)
а) Полуинтервал (-3; 1]
Для начала, рассмотрим функцию на интервале (-∞; +∞) и найдём ее экстремумы (точки минимума и максимума), разложив функцию в каноническую форму.
1. Найдём каноническую форму функции.
y = 2x^2
Каноническая форма: y = a(x - h)^2 + k, где (h, k) - координаты вершины параболы.
2x^2 = 2(x - 0)^2 + 0
Вершина параболы находится в точке (h, k) = (0, 0).
Таким образом, каноническая форма функции y = 2x^2: y = 2x^2.
2. Теперь найдём минимальное и максимальное значение функции на интервале (-∞; +∞).
Так как функция 2x^2 является параболой с ветвями, направленными вверх, то она не имеет точек минимума на всей числовой прямой и имеет минимальное значение 0 при x = 0 (вершина параболы).
3. Находим значения функции на полуинтервале (-3; 1].
Подставляем крайние значения интервала в функцию:
y(-3) = 2(-3)^2 = 2*9 = 18
y(1) = 2(1)^2 = 2*1 = 2
Таким образом, минимальное значение функции на полуинтервале (-3; 1] равно 2, а максимальное значение равно 18.
б) Отрезок [-3;-1]
Подставляем крайние значения интервала в функцию:
y(-3) = 2(-3)^2 = 2*9 = 18
y(-1) = 2(-1)^2 = 2*1 = 2
Таким образом, минимальное значение функции на отрезке [-3;-1] равно 2, а максимальное значение равно 18.
в) Луч [1: +∞)
Находится минимальное значение на данном луче можно применить интуитивный разум и понимание графика функции, поскольку функция 2x^2 является параболой, которая увеличивается при увеличении x и не имеет точки минимума на всей числовой прямой (кроме вершины). Таким образом, на данном луче нет минимального значения.
Подставляем значение из луча в функцию для нахождения максимального значения:
y(1) = 2(1)^2 = 2*1 = 2
Таким образом, единственное значение функции на луче равно 2.
Ответ:
а) На полуинтервале (-3; 1] минимальное значение функции равно 2, а максимальное значение равно 18.
б) На отрезке [-3;-1] минимальное значение функции равно 2, а максимальное значение равно 18.
в) На луче [1: +∞) минимального значения нет, значение функции равно 2.
а) полуинтервал (-3; 1]
б) отрезок [-3;-1]
в) луч [1: +∞)
а) Полуинтервал (-3; 1]
Для начала, рассмотрим функцию на интервале (-∞; +∞) и найдём ее экстремумы (точки минимума и максимума), разложив функцию в каноническую форму.
1. Найдём каноническую форму функции.
y = 2x^2
Каноническая форма: y = a(x - h)^2 + k, где (h, k) - координаты вершины параболы.
2x^2 = 2(x - 0)^2 + 0
Вершина параболы находится в точке (h, k) = (0, 0).
Таким образом, каноническая форма функции y = 2x^2: y = 2x^2.
2. Теперь найдём минимальное и максимальное значение функции на интервале (-∞; +∞).
Так как функция 2x^2 является параболой с ветвями, направленными вверх, то она не имеет точек минимума на всей числовой прямой и имеет минимальное значение 0 при x = 0 (вершина параболы).
3. Находим значения функции на полуинтервале (-3; 1].
Подставляем крайние значения интервала в функцию:
y(-3) = 2(-3)^2 = 2*9 = 18
y(1) = 2(1)^2 = 2*1 = 2
Таким образом, минимальное значение функции на полуинтервале (-3; 1] равно 2, а максимальное значение равно 18.
б) Отрезок [-3;-1]
Подставляем крайние значения интервала в функцию:
y(-3) = 2(-3)^2 = 2*9 = 18
y(-1) = 2(-1)^2 = 2*1 = 2
Таким образом, минимальное значение функции на отрезке [-3;-1] равно 2, а максимальное значение равно 18.
в) Луч [1: +∞)
Находится минимальное значение на данном луче можно применить интуитивный разум и понимание графика функции, поскольку функция 2x^2 является параболой, которая увеличивается при увеличении x и не имеет точки минимума на всей числовой прямой (кроме вершины). Таким образом, на данном луче нет минимального значения.
Подставляем значение из луча в функцию для нахождения максимального значения:
y(1) = 2(1)^2 = 2*1 = 2
Таким образом, единственное значение функции на луче равно 2.
Ответ:
а) На полуинтервале (-3; 1] минимальное значение функции равно 2, а максимальное значение равно 18.
б) На отрезке [-3;-1] минимальное значение функции равно 2, а максимальное значение равно 18.
в) На луче [1: +∞) минимального значения нет, значение функции равно 2.