Итак, у нас есть уравнение cos(14x) + sin(7x) - 1 = 0.
Шаг 1: Приведение уравнения к более удобному виду.
Мы заметим, что данное уравнение является квадратным уравнением суммы косинуса и синуса. Мы можем воспользоваться тригонометрической формулой суммы косинуса и синуса для упрощения уравнения:
cos(14x) + sin(7x) = cos(14x) + cos((π/2) - 7x) = 2cos((π/4) - 3.5x)cos((π/4) + 3.5x).
Таким образом, наше уравнение превращается в:
2cos((π/4) - 3.5x)cos((π/4) + 3.5x) - 1 = 0.
Шаг 2: Замена переменной.
Для упрощения уравнения заменим переменную t = (π/4) - 3.5x. Тогда наше уравнение можно переписать в виде:
2cos(t)cos(t + (7π/4)) - 1 = 0.
Шаг 3: Решение квадратного уравнения.
Теперь мы можем решить это уравнение как квадратное уравнение с переменной t.
Умножим оба члена уравнения на 2:
2cos(t)cos(t + (7π/4)) - 1 = 0,
cos(t)cos(t + (7π/4)) = 1/2.
Теперь мы можем воспользоваться формулой двойного угла для косинуса:
cos(t)cos(t + (7π/4)) = (cos^2(t) - sin^2(t - 7π/4)).
Теперь в нашем уравнении есть только cos и sin, поэтому мы можем его решить.
Шаг 4: Решение уравнения cos и sin.
Но сначала нам нужно выразить sin^2(t - 7π/4) через cos^2(t). Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
sin^2(t - 7π/4) = 1 - cos^2(t - 7π/4).
Теперь подставим это значение обратно в наше уравнение:
cos^2(t) - (1 - cos^2(t - 7π/4)) = 1/2,
2cos^2(t) - 1 + cos^2(t - 7π/4) = 0,
3cos^2(t) + cos^2(t - 7π/4) - 1 = 0.
Шаг 5: Решение квадратного уравнения.
Давайте заменим переменную снова, теперь пусть u = cos^2(t). Тогда уравнение принимает вид:
3u + cos^2(t - 7π/4) - 1 = 0.
Шаг 6: Обратная замена.
Теперь, когда у нас есть уравнение с одной переменной u, мы можем решить его. После решения уравнения опять будем использовать обратную замену, чтобы найти значения t и, наконец, x.
После нахождения корней уравнения u, найдем значение cos(t) и sin(t) используя исходную подстановку. Затем найдем значение t, используя arccos или arcsin, и исследуем необходимый диапазон значений t. Используя найденные значения t, найдем x.
Вот таким образом мы можем найти наименьший положительный корень данного уравнения.
решение на фотографии
Итак, у нас есть уравнение cos(14x) + sin(7x) - 1 = 0.
Шаг 1: Приведение уравнения к более удобному виду.
Мы заметим, что данное уравнение является квадратным уравнением суммы косинуса и синуса. Мы можем воспользоваться тригонометрической формулой суммы косинуса и синуса для упрощения уравнения:
cos(14x) + sin(7x) = cos(14x) + cos((π/2) - 7x) = 2cos((π/4) - 3.5x)cos((π/4) + 3.5x).
Таким образом, наше уравнение превращается в:
2cos((π/4) - 3.5x)cos((π/4) + 3.5x) - 1 = 0.
Шаг 2: Замена переменной.
Для упрощения уравнения заменим переменную t = (π/4) - 3.5x. Тогда наше уравнение можно переписать в виде:
2cos(t)cos(t + (7π/4)) - 1 = 0.
Шаг 3: Решение квадратного уравнения.
Теперь мы можем решить это уравнение как квадратное уравнение с переменной t.
Умножим оба члена уравнения на 2:
2cos(t)cos(t + (7π/4)) - 1 = 0,
cos(t)cos(t + (7π/4)) = 1/2.
Теперь мы можем воспользоваться формулой двойного угла для косинуса:
cos(t)cos(t + (7π/4)) = (cos^2(t) - sin^2(t - 7π/4)).
Теперь в нашем уравнении есть только cos и sin, поэтому мы можем его решить.
Шаг 4: Решение уравнения cos и sin.
Но сначала нам нужно выразить sin^2(t - 7π/4) через cos^2(t). Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
sin^2(t - 7π/4) = 1 - cos^2(t - 7π/4).
Теперь подставим это значение обратно в наше уравнение:
cos^2(t) - (1 - cos^2(t - 7π/4)) = 1/2,
2cos^2(t) - 1 + cos^2(t - 7π/4) = 0,
3cos^2(t) + cos^2(t - 7π/4) - 1 = 0.
Шаг 5: Решение квадратного уравнения.
Давайте заменим переменную снова, теперь пусть u = cos^2(t). Тогда уравнение принимает вид:
3u + cos^2(t - 7π/4) - 1 = 0.
Шаг 6: Обратная замена.
Теперь, когда у нас есть уравнение с одной переменной u, мы можем решить его. После решения уравнения опять будем использовать обратную замену, чтобы найти значения t и, наконец, x.
После нахождения корней уравнения u, найдем значение cos(t) и sin(t) используя исходную подстановку. Затем найдем значение t, используя arccos или arcsin, и исследуем необходимый диапазон значений t. Используя найденные значения t, найдем x.
Вот таким образом мы можем найти наименьший положительный корень данного уравнения.