Известно, что парабола такого вида однозначно задается тремя точками (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3), лежащими на ней. Для поиска a, b, и c получаем систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными ax_1^2+bx_1+c=y_1; ax_2^2+bx_2+c=y_2; ax_3^2+bx_3+c=y_3, определитель которой равен определителю Вандермонда, сосчитанному для x_1, x-2 и x_3, среди которых нет равных. Следовательно, определитель системы не равен нулю, а значит система имеет единственное решение.
Применение этой теории к нашей задаче обусловлено тем, что наряду с указанными двумя точками на параболе будет лежать точка, симметричная точке K относительно оси параболы.
В обозначениях задачи на параболе будет лежать точка L(2x_0-x_1,y_1) (Абсциссу этой точки можно получить из того, что x_0 должен быть ровно посередке между абсциссами точек K и L, то есть x_0 должен быть средним арифметическим абсцисс точек K и L
2x^2 - (2b-5)*x + (b-3) = 0 Это уравнение должно иметь два разных корня, значит, D > 0 D = (2b-5)^2 - 4*2(b-3) = 4b^2-20b+25-8b+24 = 4b^2-28b+49 = (2b-7)^2 Этот дискриминант положителен при любом b, кроме 7/2 = 3,5. И эти два корня должны находиться в промежутке (-1; 1) x1 = (2b-5-(2b-7))/4 = (-5+7)/4 = 2/4 = 0,5 ∈ (-1; 1) при любом b x2 = (2b-5+2b-7)/4 = (4b-12)/4 = b - 3 Чтобы было 2 разных корня, и оба в промежутке (-1; 1), должно быть: 1) b - 3 =/= 0,5; b =/= 3,5 - мы это уже выяснили. 2) b - 3 > -1; b > 2 3) b - 3 < 1; b < 4 ответ: b ∈ (2; 3,5) U (3,5; 4)
ax_1^2+bx_1+c=y_1;
ax_2^2+bx_2+c=y_2;
ax_3^2+bx_3+c=y_3,
определитель которой равен определителю Вандермонда, сосчитанному для x_1, x-2 и x_3, среди которых нет равных. Следовательно, определитель системы не равен нулю, а значит система имеет единственное решение.
Применение этой теории к нашей задаче обусловлено тем, что наряду с указанными двумя точками на параболе будет лежать точка, симметричная точке K относительно оси параболы.
В обозначениях задачи на параболе будет лежать точка
L(2x_0-x_1,y_1) (Абсциссу этой точки можно получить из того, что x_0 должен быть ровно посередке между абсциссами точек K и L, то есть x_0 должен быть средним арифметическим абсцисс точек K и L
Это уравнение должно иметь два разных корня, значит, D > 0
D = (2b-5)^2 - 4*2(b-3) = 4b^2-20b+25-8b+24 = 4b^2-28b+49 = (2b-7)^2
Этот дискриминант положителен при любом b, кроме 7/2 = 3,5.
И эти два корня должны находиться в промежутке (-1; 1)
x1 = (2b-5-(2b-7))/4 = (-5+7)/4 = 2/4 = 0,5 ∈ (-1; 1) при любом b
x2 = (2b-5+2b-7)/4 = (4b-12)/4 = b - 3
Чтобы было 2 разных корня, и оба в промежутке (-1; 1), должно быть:
1) b - 3 =/= 0,5; b =/= 3,5 - мы это уже выяснили.
2) b - 3 > -1; b > 2
3) b - 3 < 1; b < 4
ответ: b ∈ (2; 3,5) U (3,5; 4)