Если a>0 и b>0, то доказать можно. Например, если a=-1 и b=-1, то неравенство не выполняется: слева отрицатнльное число, справа - положительное. Доказываем, для положительных a и b. Раскрываем скобки и переносим 4ab из правой части в левую: b a^2 + b + a b^2 + a - 4ab >= 0 Выражение (-4ab) разобъём на 2, т.е. (-4ab) = -2ab - 2ab и сгруппируем члены: (b a^2 - 2ab + b) + (a b^2 - 2ab + a) >= 0 b (a^2 - 2ab + 1) + a (b^2 - 2ab + 1) = b (a-1)^2 + a (b-1)^2 >=0 Как видно, если a и b положительные, то неравенство выполняется.
Доказываем, для положительных a и b. Раскрываем скобки и переносим 4ab из правой части в левую:
b a^2 + b + a b^2 + a - 4ab >= 0
Выражение (-4ab) разобъём на 2, т.е. (-4ab) = -2ab - 2ab и сгруппируем члены:
(b a^2 - 2ab + b) + (a b^2 - 2ab + a) >= 0
b (a^2 - 2ab + 1) + a (b^2 - 2ab + 1) = b (a-1)^2 + a (b-1)^2 >=0
Как видно, если a и b положительные, то неравенство выполняется.
Область определения:
{ x^2 + x + 7 >= 0 - x ∈ (-oo; +oo)
{ x^2 + x + 2 >= 0 - x ∈ (-oo; +oo)
{ 3x^2 + 3x + 19 >= 0 - x ∈ (-oo; +oo)
Замена y = x^2 + x + 5 > 0 при любом x, тогда 3x^2 + 3x + 19 = 3y + 4
√(y + 2) + √(y - 3) = √(3y + 4)
Возводим в квадрат, но помним, что при этом могут появиться лишние корни. Поэтому в конце все корни надо будет проверить.
y + 2 + 2√[(y+2)(y-3)] + y - 3 = 3y + 4
2√[(y+2)(y-3)] = y + 5
Опять возводим в квадрат и раскрываем скобки под корнем.
4(y^2 - y - 6) = (y + 5)^2 = y^2 + 10y + 25
4y^2 - 4y - 24 = y^2 + 10y + 25
3y^2 - 14y - 49 = 0
D = 14^2 - 4*3(-49) = 196 + 12*49 = 784 = 28^2
y1 = (14 - 28)/6 = -14/6 < 0 - не подходит
y2 = (14 + 28)/6 = 42/6 = 7
Обратная замена x^2 + x + 5 = 7
x^2 + x - 2 = 0
(x - 1)(x + 2) = 0
x1 = 1; x2 = -2