Найдите промежутки монотонности функции

Объяснение:

1) f(x)=x/(x-1)      ОДЗ: х-1≠0     х≠1

f'(x)=(x/(x-1))'=(x'*(x-1)-x*(x-1)')/(x-1)²=(x-1-x)/(x-1)²=-1/(x-1)².

Так как (х-1)²>0    ⇒

x∈(-∞;1)U(1;+∞) - функция убывает.

2) f(x)=x²/(x+3)       ОДЗ: х+3≠0      х≠-3

f'(x)=(x²/(x+3))'=((x²)'*(x+3)-x²*(x+3)')/(x+3)²=(2x*(x+3)-x²)/(x+3)²=

=(2x²+6x-x²)/(x+3)²=(x²+6x)/(x+3)²=x*(x+6)/(x+3)².    ⇒

-∞__+__-6__-__(-3)__-__0__+__+∞

x∈(-∞;-6)U(0;+∞) - ф-ция возрастает.

х∈(-6;-3)U(-3;0) - ф-ция убывает.

3) f(x)=2x/(16-x²)      ОДЗ: 16-x²≠0   (4-x)(4+x)≠0  x≠±4.

f'(x)=((2x)'*(16-x²)-2x*(16-x²)')/(16-x²)²=(2*(16-x²)-2x*(-2x))/(16-x²)²=

=(32-2x²+4x²)/(16-x²)²=(2x²+32)/(16-x²)²=2*(x²+16)/(16-x²)².

Так как x²+16>0 и(16+x²)²>0  ⇒ ф-ция возрастающая.

-∞__+__(-4)__+__(4)__+__+∞   ⇒

x∈(-∞;-4)U(-4;4)U(4;+∞) - ф-ция возрастает.

4) f(x)=(x²-1)/(x²-9)    ОДЗ: х²-9≠0    (х-3)(х+3)≠0     х≠±3.

f'(x)=((x²-1)/(x²-9))'=(x²-1)'*(x²-9)-(x²-1)*(x²-9)'/(x²-9)²=

=(2x*(x²-9)-(x²-1)*2x)/(x²-9)²=(2x³-18x-2x³+2x)/(x²-9)²=-18x/(x²-9)².

x>0  ⇒ ф-ция убывает.

х<0  ⇒ ф-ция возрастает.    ⇒

x∈(-∞;-3)U(-3;0) -  ф-ция возрастает.

x∈(0;3)U(3;+∞) -  ф-ция убывает.

5) f(x)=√x*((5-x)x+4)      ОДЗ: х≥0

f'(x)=(√x*(x+4))'=(√x)'*(x+4)+√x*(x+4)'=(1/(2*√x))*(x+4)+√x*1=

=((x+4)/(2*√x))+√x=(x+4+2*√x*√x)/(2*√x)=(x+4+2x)/(2*√x)=(3x+4)/(2*√x).

2*√x>0 и cогласно ОДЗ: 3x+4>0   ⇒    

√x*(x+4) - ф-ция возрастающая.

x∈[0;+∞) - ф-ция возрастает.

6) f(x)=√(x-1)*(5-x)       ОДЗ: х-1≥0        х≥1

f'(x)=(√(x-1)*(5-x))'=√(x-1))'*(5-x)+√(x-1)*(5-x)'=(1/(2*√(x-1))*(5-x)+√(x-1)*(-1)=

=(5-x)/(2*√(x-1))-√(x-1)=(5-x-2*√(x-1)*√(x-1))/(2*√(x-1))=

=(5-x-2*(x-1))/(2*√(x-1))=(5-x-2x+2)/(2*√(x-1))=(-3x+7)/(2*√(x-1)).

2*√(x-1)>0    ⇒  

-3x+7=0         3x=7  |÷3    x=7/3=2¹/₃.

x∈[1;2¹/₃) - ф-ция возрастает.

x∈(2¹/₃;+∞) - ф-ция убывает.