Найдите промежутки убывания функции: y=3x^4-16x^3+24x^2-11

Решение дано на фото. Учитываем двойную точку.

Для нахождения промежутков убывания функции, нам нужно определить, в каких интервалах значение функции уменьшается.

Шаг 1: Найдите производную функции
Для начала мы возьмем производную функции y=3x^4-16x^3+24x^2-11, чтобы найти точки экстремума (точки, где функция может менять направление убывания / возрастания).

Производная функции y=3x^4-16x^3+24x^2-11 можно найти, применив правило дифференцирования для каждого терма:
y' = (12x^3 - 48x^2 + 48x)

Шаг 2: Найдите критические точки
Для нахождения критических точек, где производная равна нулю, мы решим уравнение:
12x^3 - 48x^2 + 48x = 0

Факторизуя левую часть, получим:
12x(x^2 - 4x + 4) = 0

Решив получившееся уравнение, мы найдем три значения для x: 0, 2, и 2.

Шаг 3: Построение таблицы знаков
Для выяснения, в каких интервалах функция убывает или возрастает, построим таблицу знаков, подставив значения x, разделенные критическими точками.

| -∞ | 0 | 2 | +∞ |
-------------------------------------------------------------------------------------------
y'(x) | - | 0 | + | + |
-------------------------------------------------------------------------------------------
y(x) | убывает | достигает | возрастает | возрастает |

Из таблицы знаков мы видим, что функция убывает на интервале (-∞,0] и возрастает на интервале [2, +∞).

Таким образом, промежутки убывания функции y=3x^4-16x^3+24x^2-11 являются (-∞,0].