Для нахождения промежутков возрастания функции y=2x^5-5x^4 мы будем использовать производную функции.
1. Вычислим производную функции y по переменной x. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим их. В нашем случае каждое слагаемое имеет вид ax^n, где a - коэффициент, x - переменная, n - степень.
Производная слагаемого 2x^5 будет равна 10x^4 (2 * 5 * x^(5-1) = 10x^4)
Производная слагаемого -5x^4 будет равна -20x^3 (-5 * 4 * x^(4-1) = -20x^3)
Теперь сложим эти производные: 10x^4 - 20x^3
2. Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем выражение 10x^4 - 20x^3 к нулю и решим полученное уравнение:
10x^4 - 20x^3 = 0
2x^3(5x-10) = 0
Рассмотрим каждый сомножитель отдельно:
а) 2x^3 = 0
Тут единственным решением будет x = 0.
б) 5x - 10 = 0
Решим это уравнение:
5x = 10
x = 2
Итак, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: x = 0 и x = 2.
3. Теперь мы знаем, что в точках x = 0 и x = 2 возможно наличие экстремумов (максимумов или минимумов), иначе говоря, здесь функция изменяет свой характер с убывающего на возрастающий или наоборот.
4. Чтобы определить, какой именно характер изменения функции, мы можем посмотреть на значения производной в интервалах между найденными точками и за пределами этих точек.
а) Для x < 0:
Подставим, например, x = -1 в производную (10x^4 - 20x^3), чтобы определить знак производной в этом промежутке:
10(-1)^4 - 20(-1)^3 = 10 - 20 = -10
Таким образом, на промежутке x < 0 производная отрицательна, следовательно, функция убывает.
б) Для 0 < x < 2
Подставим, например, x = 1 в производную (10x^4 - 20x^3), чтобы определить знак производной в этом промежутке:
10(1)^4 - 20(1)^3 = 10 - 20 = -10
На промежутке 0 < x < 2 производная также отрицательна, функция убывает.
в) Для x > 2
Подставим, например, x = 3 в производную (10x^4 - 20x^3), чтобы определить знак производной в этом промежутке:
10(3)^4 - 20(3)^3 = 10 * 81 - 20 * 27 = 810 - 540 = 270
Таким образом, на промежутке x > 2 производная положительна, следовательно, функция возрастает.
5. Итак, у нас получилось, что на промежутках x < 0 и 0 < x < 2 функция y=2x^5-5x^4 убывает, а на промежутке x > 2 она возрастает.
Можно представить это на числовой оси следующим образом:
1. Вычислим производную функции y по переменной x. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим их. В нашем случае каждое слагаемое имеет вид ax^n, где a - коэффициент, x - переменная, n - степень.
Производная слагаемого 2x^5 будет равна 10x^4 (2 * 5 * x^(5-1) = 10x^4)
Производная слагаемого -5x^4 будет равна -20x^3 (-5 * 4 * x^(4-1) = -20x^3)
Теперь сложим эти производные: 10x^4 - 20x^3
2. Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем выражение 10x^4 - 20x^3 к нулю и решим полученное уравнение:
10x^4 - 20x^3 = 0
2x^3(5x-10) = 0
Рассмотрим каждый сомножитель отдельно:
а) 2x^3 = 0
Тут единственным решением будет x = 0.
б) 5x - 10 = 0
Решим это уравнение:
5x = 10
x = 2
Итак, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: x = 0 и x = 2.
3. Теперь мы знаем, что в точках x = 0 и x = 2 возможно наличие экстремумов (максимумов или минимумов), иначе говоря, здесь функция изменяет свой характер с убывающего на возрастающий или наоборот.
4. Чтобы определить, какой именно характер изменения функции, мы можем посмотреть на значения производной в интервалах между найденными точками и за пределами этих точек.
а) Для x < 0:
Подставим, например, x = -1 в производную (10x^4 - 20x^3), чтобы определить знак производной в этом промежутке:
10(-1)^4 - 20(-1)^3 = 10 - 20 = -10
Таким образом, на промежутке x < 0 производная отрицательна, следовательно, функция убывает.
б) Для 0 < x < 2
Подставим, например, x = 1 в производную (10x^4 - 20x^3), чтобы определить знак производной в этом промежутке:
10(1)^4 - 20(1)^3 = 10 - 20 = -10
На промежутке 0 < x < 2 производная также отрицательна, функция убывает.
в) Для x > 2
Подставим, например, x = 3 в производную (10x^4 - 20x^3), чтобы определить знак производной в этом промежутке:
10(3)^4 - 20(3)^3 = 10 * 81 - 20 * 27 = 810 - 540 = 270
Таким образом, на промежутке x > 2 производная положительна, следовательно, функция возрастает.
5. Итак, у нас получилось, что на промежутках x < 0 и 0 < x < 2 функция y=2x^5-5x^4 убывает, а на промежутке x > 2 она возрастает.
Можно представить это на числовой оси следующим образом:
↑ возрастание
|
------------------------------
| | |
-∞ 0 2 +∞
| | убывание | возрастание |
------------------------------
| | |
↓ убывание
Это дает нам ответ на вопрос о промежутках возрастания функции y=2x^5-5x^4. Промежутки возрастания: (2, +∞).