Найдите сумму длин всех интервалов, входящих в решение неравенства

0.625

Объяснение:

ОДЗ:  

1/4-x>0 => x < 1/4, |x+1/2| ≠ 1 => x ≠ -3/2 и x  ≠ 1/2

Получаем, что:

x ∈ ( -ထ ; -3/2 )∪( -3/2 ; 1/4 )

После проверки log4 (1/4 - x), равно 1, мы поняли, что это неравенство не будет выполнятся.

Сделаем замену и рассмотрим два случая:

1. log4 (1/4 - x)>0 ⇔ 1/4-x>1 ⇔ x< -3/4

(log|x+1/2| (1/4-x) -1) * log16 (1/4 - x) > log4 1/4-x / |x+1/2| ⇔ 1/2(log|x+1/2|(1/4-x)-1) > log4(1/4-x)/log4(1/4-x) - log4|x+1/2|/log4(1/4-x)⇔1/2(log|x+1/2|(1/4-x)-1) >  

>-log1/4-x|x+1/2| ⇔ 1/2(t-1) > 1-1/t ⇔ t^2-3t+2/t > 0 ⇔ (t-1)(t-2)/t > 0

Решим через метод интервалов:

t ∉ (0;1)∪(2;+ထ) => t=log|x+1/2|(1/4-x)>0  

Мы знаем, что есть лучи (-ထ;-3/2) и (1/2;ထ)

В ОДЗ входит только (-ထ;-3/2), а это значит что нет такого луча x, что

t ∈ (0;1).

Решим t > 2

log|x+1/2|(1/4-x)>2 ⇔ 1/4-x > x+1/2|^2 ⇔ 1/4-x>x^2+x+1/4 ⇔ x ∈ (-2;0),

x ∈ (-2;0) ⋂ ( -ထ;-3/2 ) => x ∈ (-2;-3/2)

2. log4 (1/4 - x) < 0 ⇔ 1/4-x<1 ⇔ x>-3/4

Относительно t, неравенство = (t-1)(t-2)/t<0 , его решением является множество t ∈ ( -ထ ; 0 ) ∪ (1 : 2), в таком случае, мы будем рассматривать не весь луч, а часть, которая входит в ОДЗ: x ∈ (-3/4;1/4), при всех таких x |x+1/2| < 1 => t  ∈ (1;2) => |x+1/2|^2 < 1/4-x < |x+1/2|

Первое неравенство дает условие x ∈ (-2;0), а второе выполняется только при x > -1/8

Получаем решение x ∈ (-1/8;0)

В решение входят 2 интервала (-2;-3/2) и (-1/8;0)

Длина 1-го = 1/2, длина 2-го = -1/8

Получаем сумму 5/8

5/8 = 0.625

Надеюсь, хоть чем-то я тебе

P.s. я только сейчас увидел спец. знаки, переделывать не буду, по старинке, думаю, поймете