Найдите тангенс и котангенс угла: а) а; б) в, изображенного на рисунке 13.6

Показать ответ

Ответ:

tkacheff2014

05.08.2020 09:57

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему. Проведём дополнительные прямые линии так, чтобы получить прямоугольные треугольники, из которых можно будет найти катеты необходимых углов и воспользуемся формулами тангенса суммы и разности углов.

Смотри рисунок.

$tg(\alpha-\beta )=\frac{tg\alpha -tg\beta }{1+tg\alpha \cdot tg\beta }\; \; ,\; \; tg(\alpha +\beta )=\frac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha \cdot tg\beta }$

$a)\; \; tg\angle BAC=tg(\angle BAD-\angle CAD)=\frac{tg\angle BAD-tg\angle CAD}{1+tg\angle BAD\cdot tg\angle CAD}=\\\\\star \; \; tg\angle BAD=\frac{BK}{AK}=\frac{5}{5}=1\; \; ,\; tg\angle CAD=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\; \; \star \\\\=\frac{1-\frac{1}{2}}{1+1\cdot \frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}\\\\ctg\angle BAD=\frac{1}{tg\angle BAD}=\frac{1}{1/3}=3$

$b)\; \; tg\angle ABC=tg(\angle CBD+\angle KBA)=\frac{tg\angle CBD+tg\angle KBA}{1-tg\angle CBD\cdot tg\angle KBA}=\\\\\star \; \; tg\angle CBD=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{3}\; \; ,\; tg\angle KBA=\frac{AK}{BK}=\frac{5}{5}=1\; \; \star \\\\=\frac{\frac{1}{3}+1}{1-1\cdot \frac{1}{3}}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{4}{2}=2\\\\ctg\angle ABC=\frac{1}{tg\angle ABC}=\frac{1}{2}$