Найдите все значения а при которых уравнение имеет одно решение.

Показать ответ

Ответ:

fawnsvalley

01.10.2020 22:43

Функция четная,т.к. f(x)=f(-x)
значит, x1=-x2
один корень при х=0
подставляем
sqrt(-(a-5)^4)=|a-5|+|5-a|
откуда а=5
но проверкой удостоверяемся, что а=5 - три корня
опечатка в условии, если бы было + под корнем, то три корня, потом проверка

0,0(0 оценок)

Ответ:

нурлес2

01.10.2020 22:43

$\sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5|$

Пусть xo - корень этого уравнения, тогда -xo также корень. Проверка:

$\sqrt{(-x_o)^4+(a-5)^4}=|-x_o+a-5|+|-x_o-a+5|$

$\sqrt{x_o^4+(a-5)^4}=|-(x_o-a+5)|+|-(x_o+a-5)|$

$\sqrt{x_o^4+(a-5)^4}=|x_o-a+5|+|x_o+a-5|$

Получилось тоже самое уравнение. Значит:

x_o=-x_o

Подставим это значение в уравнение:

$\sqrt{(a-5)^4}=|a-5|+|-a+5|$

(a-5)^2=|a-5|+|-(a-5)|

Не торопимся записывать эти значения в ответ. Обратите внимание, что это только претенденты на ответ. Теперь каждое значение нужно аккуратно подставить в изначальное уравнение, и проверить, на количество корней. Те значение. которые будут давать больше 1 корня, мы в ответ записывать не будем(по условию).

a=3

$\sqrt{x^4+16}=|x-2|+|x+2|$

Решаем это уравнение с модулями на промежутках.

$1)x\in(-\infty ;-2]$

$\sqrt{x^4+16}=-x+2-x-2$

$\sqrt{x^4+16}=-2x$

x^4+16=4x^2

$x^2=t;t \geq 0$

t^2-4t+16=0

$2) x\in(-2;2]$

$\sqrt{x^4+16}=-x+2+x+2$

$\sqrt{x^4+16}=4$

x^4+16=16

$3)x\in (2;+\infty)$

$\sqrt{x^4+16}=x-2+x+2$

$\sqrt{x^4+16}=2x$

Заметим, что это ситуация аналогична пункту 2, решений тут нет.

Теперь складываем все полученные корни и того: 1 корень. Значит это значение пойдет в ответ.

a=5

$\sqrt{x^4}=|x|+|x|$

x^2=2|x|

Это значение не подходит, так как тут целых 3 корня.

a=7

$\sqrt{x^4+16}=|x+2|+|x-2|$

Заметим, что это уравнение копия уравнения, при a=3, значит тут будет всего 1 корень, и это значение нм подходит.

ответ: a=3,a=7.
Найдите все значения а при которых уравнение имеет одно решение.