Пусть A=(n+1,...,n+k), В=(m+1,...,m+k) - исходные наборы подряд идущих чисел. Пусть A' и B' - наборы чисел, которые получаются из А и В перестановкой элементов, причем после суммирования чисел, стоящих в одинаковых местах в A' и B', получается набор подряд идущих натуральных чисел S=(s+1,...,s+k). Тогда сумма всех чисел в А и В должна равняться сумме чисел в S (т.к. эта сумма не зависит от перестановки элементов), т.е. nk+(k+1)k/2+mk+(k+1)k/2=sk+(k+1)k/2, откуда n+m+(k+1)/2=s. Значит k обязано быть нечетным.
Покажем, что при любом нечетном k можно так переставить числа в А и В, что получится требуемый S. Очевидно, что достаточно это сделать в случае когда n=m=0, т.е. A=B=(1,...,k) т.к. вычитание (или прибавление) к каждому элементу набора фиксированного числа n или m сохраняет "подряд идущесть" как в самих А и В, так и в S. В этом случае s=(k+1)/2. Переставим элементы набора А следующим образом: А'=(1,s+1, 2, s+2, 3, s+3, ... ,s-1,2s-1,s), т.е. на нечетных местах стоят числа 1,2,...,s, а на четных местах s+1, s+2,...,2s-1. Т.е. всего 2s-1=k штук. Переставим элементы набора B следующим образом: B'=(s,1, s+1, 2, s+2, 3, ... ,2s-2,s-1,2s-1), т.е. на нечетных местах стоят числа s,s+1,...,2s-1, а на четных местах 1, 2,...,s-1. Т.е. тоже всего 2s-1=k штук. Cкладывая элементы на одинаковых местах в наборах А' и B', получим набор S=(s+1, s+2, s+3, s+4, ..., 3s-3, 3s-2, 3s-1), т.е. набор из последовательных чисел. Например, для k=9, s=(9+1)/2=5, A'=(1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 5), B'=(5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9), S =(6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14). Таким образом, нужные k - все нечетные числа не превосходящие 2013, коих 2014/2=1007 штук.
итакsin2x раскладывае как 2 sinx cosx 2 sin x cos x - 2 sin x + 2 cos x = 2 делим на 2 sin x cos x - sin x + cos x = 1 раскладываем 1 как sin^2(x) + cos^2(x) sin^2(x) + cos^2(x) - sinx cosx=cosx - sinx левая часть - квадрат разности (cos x -sin x)^2 - (cos x -sin x)=0 выносим общий множитель (cos x - sin x) (cos x - sin x)(cos x - sin x -1)=0 здесь чтобы произведение было равно 0, нужно, чтобы хотя бы одно из них было равно 0 получается cos x- sin x =0 или (cos x - sin x -1)=0
1) cos x =sin x делим на sin x делим на корень из 2 tg x = 1 x= пи/4 + пи*n, где n - целое
2)(cos x - sin x -1)=0 cos x-sin x =1 (1/корень из 2)cos x - (1/корень из 2)sinx=1/корень из 2 (1/корень из 2) = cos пи/4 или sin пи/4 sin(пи/4)cos x - cos(пи/4) sin x =1/корень из 2 sin(пи/4)cos x - cos(пи/4) sin x = sin (пи/4 - x) sin (пи/4 - x)=1/корень из 2 пи/4 - x = пи/4 + 2*пи*к, где к-целое x=2*пи*к, где к-целое ответ: x= пи/4 + пи*n, где n - целое x=2*пи*к, где к-целое
имеет хотя бы один корень
Покажем, что при любом нечетном k можно так переставить числа в А и В, что получится требуемый S. Очевидно, что достаточно это сделать в случае когда n=m=0, т.е. A=B=(1,...,k) т.к. вычитание (или прибавление) к каждому элементу набора фиксированного числа n или m сохраняет "подряд идущесть" как в самих А и В, так и в S. В этом случае s=(k+1)/2.
Переставим элементы набора А следующим образом:
А'=(1,s+1, 2, s+2, 3, s+3, ... ,s-1,2s-1,s), т.е. на нечетных местах стоят числа 1,2,...,s, а на четных местах s+1, s+2,...,2s-1. Т.е. всего 2s-1=k штук.
Переставим элементы набора B следующим образом:
B'=(s,1, s+1, 2, s+2, 3, ... ,2s-2,s-1,2s-1), т.е. на нечетных местах стоят числа s,s+1,...,2s-1, а на четных местах 1, 2,...,s-1. Т.е. тоже всего 2s-1=k штук.
Cкладывая элементы на одинаковых местах в наборах А' и B', получим набор S=(s+1, s+2, s+3, s+4, ..., 3s-3, 3s-2, 3s-1), т.е. набор из последовательных чисел.
Например, для k=9, s=(9+1)/2=5,
A'=(1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 5),
B'=(5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9),
S =(6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14).
Таким образом, нужные k - все нечетные числа не превосходящие 2013, коих 2014/2=1007 штук.
итакsin2x раскладывае как 2 sinx cosx
2 sin x cos x - 2 sin x + 2 cos x = 2
делим на 2
sin x cos x - sin x + cos x = 1
раскладываем 1 как sin^2(x) + cos^2(x)
sin^2(x) + cos^2(x) - sinx cosx=cosx - sinx
левая часть - квадрат разности
(cos x -sin x)^2 - (cos x -sin x)=0
выносим общий множитель (cos x - sin x)
(cos x - sin x)(cos x - sin x -1)=0
здесь чтобы произведение было равно 0, нужно, чтобы хотя бы одно из них было равно 0
получается
cos x- sin x =0 или (cos x - sin x -1)=0
1) cos x =sin x
делим на sin x делим на корень из 2
tg x = 1
x= пи/4 + пи*n, где n - целое
2)(cos x - sin x -1)=0
cos x-sin x =1
(1/корень из 2)cos x - (1/корень из 2)sinx=1/корень из 2
(1/корень из 2) = cos пи/4 или sin пи/4
sin(пи/4)cos x - cos(пи/4) sin x =1/корень из 2
sin(пи/4)cos x - cos(пи/4) sin x = sin (пи/4 - x)
sin (пи/4 - x)=1/корень из 2
пи/4 - x = пи/4 + 2*пи*к, где к-целое
x=2*пи*к, где к-целое
ответ: x= пи/4 + пи*n, где n - целое
x=2*пи*к, где к-целое