F(x)=-x³+3x²-4. 1. Область определения функции: x∈R (функция определена на x∈(-∞;+∞). 2. Четность/нечетность: f(-x)=-(-x)³+3(-x)²-4=x³+3x²-4≠f(x)≠-f(x) - функция ни четная, ни нечетная. 3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения. 4. Поведение функции при x→+-∞: при x→-∞, f(x)→+∞; при x→+∞, f(x)→-∞. 5. Производная функции: f'(x)=(-x³+3x²-4)'=-(x³)'+3*(x²)'-4'=-3x²+3*2x-0=-3x²+6x. 6. Экстремумы функции: f'(x)=0, -3x²+6x=0 ⇒ x²-2x=0 ⇒ x(x-2)=0 ⇒ x=0 и x=2. 7. Монотонность (промежутки возрастания и убывания) функции: при x∈(-∞;0], f'(x)<0 - функция убывает, при x∈[0;2], f'(x)>0 - функция возрастает, при x∈[2;+∞), f'(x)<0 - функция убывает. Следовательно x=0 - точка минимума, x=2 - точка максимума. 8. Пересечение графика функции с осями координат: с осью абсцисс, f(x)=0 ⇒ -x³+3x²-4=0 ⇒ x=-1 и x=2, получим точки (-1;0) и (2;0); с осью ординат, x=0, f(x)=-4, получим точку (0;-4). 9. Строим график (см. в приложении)
Добро пожаловать в урок по математике! Сегодня мы будем решать уравнение для поиска кривой, проходящей через точку m(1; 0), учитывая условия о перпендикуляре к касательной и прохождении через начало координат.
Для начала, давайте представим, что у нас есть уравнение кривой в общем виде, которое выглядит следующим образом: y = f(x). Чтобы найти это уравнение и получить ответ на наш вопрос, нам нужно последовательно выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Найдем производную f'(x) от уравнения y = f(x). Поскольку мы ищем кривую, проходящую через точку m(1; 0), и известно, что перпендикуляр к касательной к этой кривой, проведенный через точку касания, проходит через начало координат, то мы знаем, что кривая должна проходить через точку (0; 0). Подставим эти координаты в уравнение y = f(x), чтобы найти f(0).
Подставив (0; 0), получаем: 0 = f(0).
Шаг 2: Теперь мы знаем, что значение функции в точке x = 0 равно нулю. Поскольку мы хотим найти уравнение кривой, то нам нужно найти это значение f(0), чтобы продолжить наше решение.
Шаг 3: Давайте назовем значение f(0) как a и запишем уравнение кривой как y = f(x) = ax + b. Обратите внимание, что коэффициент b обозначает смещение кривой в вертикальном направлении.
Шаг 4: Теперь мы знаем, что кривая проходит через точку m(1; 0). Подставим эти координаты в уравнение кривой, чтобы найти значение b.
Подставив (1; 0), получаем: 0 = a(1) + b.
Шаг 5: Запишем уравнение из шага 4 в виде b = -a и подставим его в уравнение из шага 3 y = ax + b.
Теперь у нас есть уравнение кривой: y = ax - a.
Таким образом, кривая, проходящая через точку m(1; 0) при условии, что перпендикуляр к любой касательной к этой кривой, проведенный через точку касания, проходит через начало координат, будет иметь уравнение y = ax - a.
Давайте попробуем это проверить на практике. Пусть a = 2, тогда у нас получится уравнение y = 2x - 2.
Теперь мы можем проверить, удовлетворяет ли эта кривая условиям задачи. Найдем касательную в точке (1; 0), проходящую через начало координат. Для этого найдем производную от уравнения y = 2x - 2, получим f'(x) = 2. Теперь найдем значение касательной в точке (1; 0): f'(1) = 2.
Мы знаем, что перпендикуляр к касательной должен проходить через начало координат (0; 0). Подставим координаты в уравнение перпендикуляра y = -1/2x, получим: 0 = -1/2(0).
Таким образом, мы видим, что условия задачи выполнены, и уравнение кривой y = 2x - 2 действительно проходит через точку m(1; 0), так как перпендикуляр к любой касательной, проведенный через точку касания, проходит через начало координат.
Я надеюсь, что этот ответ понятен и помог вам разобраться в задаче. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!
1. Область определения функции: x∈R (функция определена на x∈(-∞;+∞).
2. Четность/нечетность: f(-x)=-(-x)³+3(-x)²-4=x³+3x²-4≠f(x)≠-f(x) - функция ни четная, ни нечетная.
3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
4. Поведение функции при x→+-∞: при x→-∞, f(x)→+∞; при x→+∞, f(x)→-∞.
5. Производная функции: f'(x)=(-x³+3x²-4)'=-(x³)'+3*(x²)'-4'=-3x²+3*2x-0=-3x²+6x.
6. Экстремумы функции: f'(x)=0, -3x²+6x=0 ⇒ x²-2x=0 ⇒ x(x-2)=0 ⇒ x=0 и x=2.
7. Монотонность (промежутки возрастания и убывания) функции: при x∈(-∞;0], f'(x)<0 - функция убывает, при x∈[0;2], f'(x)>0 - функция возрастает, при x∈[2;+∞), f'(x)<0 - функция убывает. Следовательно x=0 - точка минимума, x=2 - точка максимума.
8. Пересечение графика функции с осями координат: с осью абсцисс, f(x)=0 ⇒ -x³+3x²-4=0 ⇒ x=-1 и x=2, получим точки (-1;0) и (2;0); с осью ординат, x=0, f(x)=-4, получим точку (0;-4).
9. Строим график (см. в приложении)
Для начала, давайте представим, что у нас есть уравнение кривой в общем виде, которое выглядит следующим образом: y = f(x). Чтобы найти это уравнение и получить ответ на наш вопрос, нам нужно последовательно выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Найдем производную f'(x) от уравнения y = f(x). Поскольку мы ищем кривую, проходящую через точку m(1; 0), и известно, что перпендикуляр к касательной к этой кривой, проведенный через точку касания, проходит через начало координат, то мы знаем, что кривая должна проходить через точку (0; 0). Подставим эти координаты в уравнение y = f(x), чтобы найти f(0).
Подставив (0; 0), получаем: 0 = f(0).
Шаг 2: Теперь мы знаем, что значение функции в точке x = 0 равно нулю. Поскольку мы хотим найти уравнение кривой, то нам нужно найти это значение f(0), чтобы продолжить наше решение.
Шаг 3: Давайте назовем значение f(0) как a и запишем уравнение кривой как y = f(x) = ax + b. Обратите внимание, что коэффициент b обозначает смещение кривой в вертикальном направлении.
Шаг 4: Теперь мы знаем, что кривая проходит через точку m(1; 0). Подставим эти координаты в уравнение кривой, чтобы найти значение b.
Подставив (1; 0), получаем: 0 = a(1) + b.
Шаг 5: Запишем уравнение из шага 4 в виде b = -a и подставим его в уравнение из шага 3 y = ax + b.
Теперь у нас есть уравнение кривой: y = ax - a.
Таким образом, кривая, проходящая через точку m(1; 0) при условии, что перпендикуляр к любой касательной к этой кривой, проведенный через точку касания, проходит через начало координат, будет иметь уравнение y = ax - a.
Давайте попробуем это проверить на практике. Пусть a = 2, тогда у нас получится уравнение y = 2x - 2.
Теперь мы можем проверить, удовлетворяет ли эта кривая условиям задачи. Найдем касательную в точке (1; 0), проходящую через начало координат. Для этого найдем производную от уравнения y = 2x - 2, получим f'(x) = 2. Теперь найдем значение касательной в точке (1; 0): f'(1) = 2.
Мы знаем, что перпендикуляр к касательной должен проходить через начало координат (0; 0). Подставим координаты в уравнение перпендикуляра y = -1/2x, получим: 0 = -1/2(0).
Таким образом, мы видим, что условия задачи выполнены, и уравнение кривой y = 2x - 2 действительно проходит через точку m(1; 0), так как перпендикуляр к любой касательной, проведенный через точку касания, проходит через начало координат.
Я надеюсь, что этот ответ понятен и помог вам разобраться в задаче. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!