Для начала, посмотрим, какие маленькие прямоугольники можно составить из фигурок, составленных из квадратиков, имеющих форму буквы Г: 4x2 и 8x3 (на рисунке) 1) Прямоугольниками 4x2 можно замостить прямоугольник 16x12 (Один из вариантов - размещать все прямоугольники 4x2 так, чтобы они были ориентированы одинаково. Параллельными сделать стороны 4 и 16 прямоугольников 4x2 и 16x12. Тогда будет 12 : 2 = 6 рядов по 16 : 4 = 4 прямоугольника) А каждый из маленьких прямоугольников разбивать на два уголка из 4 клеток (из условия) мы умеем.
2) Таким же образом, как и в пункте 1 можно найти разбиение прямоугольника 15x16 на прямоугольники 3x8. Будет 16 : 8 = 2 ряда по 15 : 3 = 5 прямоугольников.
3) Если 8(m x n) означает, что это прямоугольник 8m x 8n, то можно разбить на прямоугольники 4x2 (2m рядов по 4n прямоугольников(
Если 8(mxn) означает, что это прямоугольник q x w, причем q*w делится на 8, то возможно несколько вариантов: Либо q делится на 4, а w делится на 2 (аналогично w делится на 4, а q делится на 2), тогда можно разделить на q рядов по w прямоугольников 4x2 (аналогично w рядов по q прямоугольников 4x2) Либо q делится на 8 (аналогично w делится на 8 рассмотрим только вариант q делится на 8 не нарушая общности). Так как w>1, то можно выделить прямоугольник q x 3, Который можно замостить прямоугольниками 8x3 (так как q делится на 8). Отрежем от нашего прямоугольника с краю прямоугольник q x 3. Останется прямоугольник q x 2p, где p≥0. Теперь (если p≠0) можно вернуться к варианту, где q делится на 4, а w делится на 2. Действительно, q делится на 8, а значит и на 4, а 2p делится на 2. А значит оставшийся прямоугольник также можно разбить на фигурки из условия
a) sinα, если cos(α+ π/3)= - 3/5 , π/2 < α+π/3 < π .
---
Т.к. π/2 < α+π/3 < π , то sin(α+ π/3) = √(1-cos²(α+ π/3) =√(1 -(-3/5)² ) = 4/5.
cos(α+ π/3)= - 3/5 ⇔cosα*cosπ/3 - sinα*sinπ/3 = - 3/5⇔
(1/2)*cosα - (√3/2)*sinα = - 3/5 ⇔ -(√3/2)*cosα + (3/2)*sinα = (3√3)/5 (1)
sin(α+ π/3) = 4/5 ⇔sinα*cosπ/3 +cosα*sinπ/3=4/5 ⇔
(√3/2)*cosα +(1/2)*sinα= 4/5 (2)
складывая (1) и (2) получаем:
sinα = (4 +3√3) /10.
b) cosα, если sin(π/6-α)= 2√2/3, π/2<π/6 - α < π .
Т.к. π/2 < π/6 - α < π , то cos(π/6-α) = - √(1- sin² (π/6-α) )= -1/3.
sin(π/6-α)= 2√2/3⇔sinπ/6*cosα -cosπ/6*sinα =2√2/3⇔
(1/2)*cosα - √3/ 2*sinα = 2√2/3 (1) .
cos(π/6-α) = -1/3 ⇔ cosπ/6*cosα+sinπ/6*sinα= -1/3⇔
√3/2*cosα +1/2*sinα = -1/3 ⇔ 3/2*cosα +√3/2*sinα = - √3 /3 (2).
складывая (1) и (2) получаем:
cosα = (2√2 - √3)/ 6 .
4x2 и 8x3 (на рисунке)
1)
Прямоугольниками 4x2 можно замостить прямоугольник 16x12
(Один из вариантов - размещать все прямоугольники 4x2 так, чтобы они были ориентированы одинаково. Параллельными сделать стороны 4 и 16 прямоугольников 4x2 и 16x12. Тогда будет 12 : 2 = 6 рядов по 16 : 4 = 4 прямоугольника)
А каждый из маленьких прямоугольников разбивать на два уголка из 4 клеток (из условия) мы умеем.
2)
Таким же образом, как и в пункте 1 можно найти разбиение прямоугольника 15x16 на прямоугольники 3x8. Будет 16 : 8 = 2 ряда по 15 : 3 = 5 прямоугольников.
3)
Если 8(m x n) означает, что это прямоугольник 8m x 8n, то можно разбить на прямоугольники 4x2 (2m рядов по 4n прямоугольников(
Если 8(mxn) означает, что это прямоугольник q x w, причем q*w делится на 8, то возможно несколько вариантов:
Либо q делится на 4, а w делится на 2 (аналогично w делится на 4, а q делится на 2), тогда можно разделить на q рядов по w прямоугольников 4x2 (аналогично w рядов по q прямоугольников 4x2)
Либо q делится на 8 (аналогично w делится на 8 рассмотрим только вариант q делится на 8 не нарушая общности). Так как w>1, то можно выделить прямоугольник q x 3, Который можно замостить прямоугольниками 8x3 (так как q делится на 8). Отрежем от нашего прямоугольника с краю прямоугольник q x 3. Останется прямоугольник q x 2p, где p≥0. Теперь (если p≠0) можно вернуться к варианту, где q делится на 4, а w делится на 2. Действительно, q делится на 8, а значит и на 4, а 2p делится на 2. А значит оставшийся прямоугольник также можно разбить на фигурки из условия
ответ:
1) да
2) да
3) да