Найти два двузначных числа, обладающих следующим свойством: если к большему искомому числу приписать справа нуль и за ним меньшее число, а к меньшему числу приписать справа большее число и затем нуль, то из полученных таким образом двух пятизначных чисел первое, будучи разделено на второе, дает в частном 2 и в остатке 590. Кроме того, известно, что сумма, составленная из удвоенного большего искомого числа и утроенного меньшего, равна 72. Если так записать условие, то получается иррациональный ответ:

Возможно, опечатка в "Кроме того, известно, что сумма, составленная из удвоенного большего искомого числа и утроенного меньшего, равна 72."

Возможно имелось ввиду что-то подобное:
""Кроме того, известно, что сумма, составленная из УТРОЕННОГО большего искомого числа и УДВОЕННОГО меньшего, равна 72"

Есть предложения...

Наибольшее число попыток - это когда нужно перебрать ВСЕ возможные варианты (комбинации).
1. Количество всех возможных вариантов набора = 10^4 = 10000.
Я поясню почему так: четыре позиции, каждая позиция может принимать 10 возможных значений (цифры от 0 до 9 - десять цифр).
Для одной позиции = 10 вариантов.
Для двух позиций: для каждого из десяти вариантов первой позиции есть десять вариантов второй позиции, всего = 10*10 = 100.
Для трех позиций: для каждого из 100 вариантов первых двух позиций есть еще 10 вариантов третьей позиции, всего = 100*10 = 1000 вариантов.
Для четырех: для каждого из 1000 вариантов первых трех позиций есть 10 вариантов четвертой позиции, то есть всего = 1000*10 = 10000 вариантов.
2. Аналогично первому: есть две позиции, каждая позиция может принимать 10 значений (цифры от 0 до 9 - десять цифр).
Для одной позиции = 10 вариантов.
Для двух позиций: каждому варианту для первой позиции соответствует еще 10 вариантов второй позиции, всего 10*10 = 100 вариантов (комбинаций).

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0

По теореме Виета:
x₁ + x₂ = -b/a
x₁ * x₂ = c/a
x₁ + x₂ = 1 + √5 + 1 - √5 = 2
x₁ * x₂ = (1 + √5) * (1 - √5) = 1 - 5 = -4
-b/a = 2
 c/a = -4
Старший коэффициент а = 5
Уравнение имеет вид 5х² + bx + c = 0

-b/5 = 2
-b = 2 * 5
-b = 10
b = -10

c/5 = -4
c = (-4) * 5
c = -20

Полученное уравнение 5x² - 10x - 20 = 0
D= b² - 4ac
D = (-10)² - 4 * 5 * (-20) = 100 + 400 = 500 > 0 
Уравнение имеет 2 корня
√D =  =  = 10√5

x₁ = (10 + 10√5) / (2*5) = (10 + 10√5) / 10 = 1 + √5
x₂ = (10 - 10√5) / (2*5) = (10 - 10√5) / 10 = 1 - √5