Для нахождения экстремумов функции f(x) = x^3 - 5/2x^2 - 22x + 1, нам понадобится найти производную и приравнять ее к нулю, а затем найти значения x, которые будут являться экстремумами.
Шаг 1: Найдем производную функции f(x) с помощью правила дифференцирования:
f'(x) = 3x^2 - 5x - 22
Шаг 2: Решим уравнение f'(x) = 0 для нахождения точек, в которых производная равна нулю:
3x^2 - 5x - 22 = 0
Это квадратное уравнение, и мы можем решить его с помощью формулы дискриминанта:
D = (-5)^2 - 4 * 3 * (-22) = 25 + 264 = 289
D > 0, значит, у нас есть два вещественных корня.
Используем формулу корней квадратного уравнения:
x = (-b ± √D) / (2a)
x1 = (-(-5) + √289) / (2 * 3) = (5 + 17) / 6 = 22 / 6 = 11 / 3
x2 = (-(-5) - √289) / (2 * 3) = (5 - 17) / 6 = -12 / 6 = -2
Шаг 3: Проверим, являются ли найденные значения x1 = 11/3 и x2 = -2 точками экстремума.
Для этого посмотрим на знак производной функции f'(x) в окрестности каждой точки.
Выберем x = 0. Подставим его в f'(x) и найдем знак:
f'(0) = 3(0)^2 - 5(0) - 22 = -22
f'(0) < 0
Выберем x = 11/3. Подставим его в f'(x) и найдем знак:
f'(11/3) = 3(11/3)^2 - 5(11/3) - 22 = 121/3 - 55/3 - 22 = 121/3 - 77/3 - 66/3 = -22/3
f'(11/3) < 0
Выберем x = -2. Подставим его в f'(x) и найдем знак:
f'(-2) = 3(-2)^2 - 5(-2) - 22 = 3(4) + 10 - 22 = 12 + 10 - 22 = 0
f'(-2) = 0
Шаг 4: Итак, мы видим, что f'(x) < 0 при x = 0 и x = 11/3, а при x = -2, f'(x) = 0.
Теперь мы можем сделать выводы о наличии экстремумов.
При x < -2, f'(x) > 0, значит, функция возрастает слева от x = -2.
В точке x = -2 производная равна нулю, поэтому это может быть точка экстремума.
При -2 < x < 11/3, f'(x) < 0, значит, функция убывает между x = -2 и x = 11/3.
При x > 11/3, f'(x) > 0, значит, функция возрастает справа от x = 11/3.
Из этого следует, что точка x = -2 - это точка минимума функции, а x = 11/3 - это точка максимума функции.
Теперь, чтобы найти значения f(x) в этих точках, подставим их в исходную функцию f(x):
f(-2) = (-2)^3 - 5/2(-2)^2 - 22(-2) + 1 = -8 - 20 + 44 + 1 = 17
f(11/3) = (11/3)^3 - 5/2(11/3)^2 - 22(11/3) + 1 = 1331/27 - 605/18 - 242/3 + 1 = 377/27 - 605/18 - 242/3 + 27/27 = -346/27
Итак, точка экстремума x = -2 соответствует минимуму функции с значением f(-2) = 17, а точка экстремума x = 11/3 соответствует максимуму функции с значением f(11/3) = -346/27.
