Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости .

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимос

Показать ответ

Ответ:

Vitiaaaa

24.11.2020 13:31

$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{5^nx^n}{3^nn^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n$

$\dfrac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{5^n}{3^nn^4}}=\dfrac{5}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{n^4}}=\dfrac{5}{3}\\ \Rightarrow R=\dfrac{3}{5}$

А значит интервал сходимости $x\in(-\dfrac{3}{5};\dfrac{3}{5})$

Исследуем на концах:

$x=\dfrac{3}{5}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left(\dfrac{3}{5}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^4}$ - сходится как обобщенный гармонический ряд с k=41

$x=-\dfrac{3}{5}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left(-\dfrac{3}{5}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{n^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$

Заметим, что ряд из модулей $\sum\limits_{n=1}^\infty |b_n|=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^4}$ сходится (по доказанному ранее). А значит и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{n^4}$ сходится

А тогда исходный ряд сходится на $\left[-\dfrac{3}{5};\dfrac{3}{5}\right]$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

lolaaaaa2

28.05.2020 09:47

Корень из 11+6 корней из 2 + корень из 11-6 корней из 2...

MilankaMarkova

28.05.2020 09:47

Разложите многочлен на множители: 16ax в квадрате -4a в квадрате x...

Аня3885

28.05.2020 09:47

Составить сложные функции: y1=f(g(x)) y2=g(f(x)) a) f(x)=1-x , g(x)=x^2 б) f(x)=1/(x+3) , g(x)=4x желательно сам метод решения....

валериялера2

16.10.2022 21:01

При каких значениях параметра р квадратное уравнение х^2+6рх+9=0 а) имеет два различных корня б) имеет один корень в) не имеет корней?...

896426745

20.06.2020 14:02

Округлите числа до единиц и найдите абсолютную и относительную погрешности: 1)5,4; 2)7,9; 3) 1,89; 4) 8,5; 5) 3,71; 6) 11,27...

Adelinchik2309

14.06.2022 07:03

Первая труба наполняет резервуар на 48 минут дольше,чем вторая.обе трубы ,работая одновременно наполняют этот же резервуар на 45 минут.за сколько минут наполнят этот...

2мария3

14.06.2022 07:03

1.ав и ас – отрезки касательных, проведённых к окружности радиуса 9 см. найти длины отрезков ас и ао, если ав = 12 см. 2.хорды mn и рк пересекаются в точке е так, что...

Mahaeva33

08.08.2021 14:16

Блин надо. надеюсь на вас. вот смотрите = это логарифм по основанию 7 умножаем на скобку с той и с той стороны. что значит приравнивания выражения? получается логарифмы...

lap85928

08.08.2021 14:16

Цена на фрукты возросла на 15%,за счет чего на 2300 рублей было приобретено фруктов на 3кг меньше.на сколько рублей возросла цена 1кг фруктов?...

дартячтчтт

08.08.2021 14:16

Втреугольнике авс ас=вс= 5, sin a = 4/5. найдите ав. !...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку