Алгебра: Найти область сходимости ряда.

Итак, у нас есть ряд . Вычислим Вот это уже хорошо. Нужно, чтобы это выражение было меньше единицы (это из признака Даламбера), тогда мы найдем те самые х, при которых ряд будет сходиться.Вот мы их получили. Но теперь нужно проверить концы: Что можно сказать об этом ряде? Допустим, мы будем использовать предельный признак сравнения. Есть известный ряд , он расходится, при этом предел отношения n-ых членов полученного ряда и приведенного не равен 0, а равен конкретной константе (-1/2, если делить...

Найти область сходимости ряда.

Показать ответ

Ответ:

Егорка156

14.10.2020 12:12

Итак, у нас есть ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(x-4)^{2n-1}}{2n-1}$ .

Вычислим $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \bigg|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\bigg| = \lim_{n\to +\infty} \bigg|\frac{\frac{(x-4)^{2(n+1)-1}}{2(n+1)-1}}{\frac{(x-4)^{2n-1}}{2n-1}}\bigg|= \lim_{n\to +\infty}\bigg|\frac{2n-1}{2n+1}\cdot \frac{(x-4)^{2n+1}}{(x-4)^{2n-1}}\bigg| = \\=\lim_{n\to+\infty}|\frac{2-\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}}\cdot (x-4)^{2n+1-2n+1}|=|x-4|^2=(x-4)^2$

Вот это уже хорошо. Нужно, чтобы это выражение было меньше единицы (это из признака Даламбера), тогда мы найдем те самые х, при которых ряд будет сходиться.

(x-4)^2

Вот мы их получили. Но теперь нужно проверить концы: $x=3; \:x=5$

$\displaystyle x=3: \ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{2n-1}}{2n-1}=\sum_{n=1}^\infty -\frac{1}{2n-1}$

Что можно сказать об этом ряде? Допустим, мы будем использовать предельный признак сравнения. Есть известный ряд $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ , он расходится, при этом предел отношения n-ых членов полученного ряда и приведенного не равен 0, а равен конкретной константе (-1/2, если делить n-ый член полученного на n-ый член ряда 1/n), так что при x=3 ряд расходится.