Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянным коэффициентами y''-3y'=3e^3x

Показать ответ

Ответ:

theta4ka

03.10.2020 22:18

Решение уравнения будем искать в виде $y=e^{\beta\cdot x}$ .

Составим характеристическое уравнение.
$\beta^2-3\beta=0\\ \beta_1=0;\\ \beta_2=3;$

Фундаментальную систему решений функций:
$y_1=1\\ y_2=e^{3x}$

Общее решение однородного уравнения:
$y_{*}=y_1+y_2=C_1\cdot e^{3x}+C_2$

Теперь рассмотрим прафую часть диф. уравнения:
$f(x)=3e^{3x}$

найдем частные решения.
Правая часть имеет вид уравнения
$P(x)=e^{\alpha x}(R(x)\cos(\gamma x)+L(x)\sin(\gamma x))$ , где R(x) и S(x) - полиномы, которое имеет частное решение.

$y=x^ze^{\alpha x}(P(x)\cos(\gamma x)+S(x)\sin (\gamma x))$ , где z -

z -

кратность корня $\alpha+\gamma i$

У нас R(x) = 3; L(x) = 0; $\alpha=3;\,\, \gamma =0$

Число $\alpha + \gamma i=3$ является корнем характеристического уравнения кратности z=1

Тогда уравнение имеет частное решение вида:
$y=x(Ae^{3x})$
Находим 2 производные, получим
$y'=3Ax3e^{3x}+Ae^{3x}\\ y''=3Ae^{3x}(3x+2)$

И подставим эти производные в исходное диф. уравнения
$y''-3y'=3e^{3x}\\ 3Ae^{3x}=3e^{3x}\\ A=1$

Частное решение имеет вид: $y_*=xe^{3x}$

Общее решение диф. уравнения:
$y=C_1e^{3x}+C_2+xe^{3x}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

УльянаТонких

05.02.2022 11:43

Подобные слагаемые 7а+9b+3b-5a-6b+b...

игоревич159753

05.02.2022 11:43

Что значит убывание и возрастание функции? как её определить? только можно простыми словами, ! вот пример(график): y=x^2-2+0....

getmanev

05.02.2022 11:43

Найдите корень уравнения: а) 2x+3x+4=14, б) 7z-z+5=11, в)8y-4y-12=-50, д) 10y-3y-9=40 г) -10+x+x=-26, е)-y+8-14y=23....

llallallup

13.01.2022 14:28

:* пусть возраст матери t лет, а возраст сына к лет. сын моложе матери на n лет. выразите каждую из величин t,к и n через две другие ! ) : *...

makssabarov

13.01.2022 14:28

Решить графическим два мальчика собирали значки. всего у них 112 значков. 3/5 числа значков первого мальчика равны 1/3 числа значков второго. сколько значков у каждого мальчика?...

mafia42

13.01.2022 14:28

Решите систему уравнений методом сложения: а) {2х-у=3, б) {х2+2у2=5, {х+у=6; {у2-х2=-2. желательно в подробностях.заранее )...

Ксюшка0328

17.03.2020 06:10

Решите уравнение ! 1+36x^-2=12x^-1 ^-знак возведения в степень...

зика20

17.03.2020 06:10

Два года подряд население города увеличилось на 20%.насколько % увеличиться население города за эти 2 года?...

serdecsofia

17.03.2020 06:10

Больший из острых углов прямоугольного треугольника равен 62 найдите градусную меру угла между высотой и биссектрисой проведёнными из вершины прямого угла...

Gggmim

04.02.2020 22:44

1) раскройте скобки: а-(2х-(2а-х)) 2)сформулируйте правила раскрытия скобок,перед которыми стоит знак + или - покажите их применение на примерах 3)сформулируйте правило раскрытия...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку