Войти Регистрация Спроси ai-bota

найти определённый интеграл

Показать ответ

Ответ:

fooorl

13.09.2020 23:51

$\int \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}\, dx=\Big[\; x=\dfrac{1}{cost}\; ,\; dx=\dfrac{sint\; dt}{cos^2t}\; ,\; x^2-1=\dfrac{1}{cos^2t}-1=tg^2t\; \Big]=\\\\\\=\int \dfrac{tgt}{\frac{1}{cos^4t}}\cdot \dfrac{sint\; dt}{cos^2t}=\int \dfrac{sint\; \cdot \; sint}{\frac{1}{cos^2t}}\, dt=\int sin^2t\cdot cos^2t\, dt=\int (sint\cdot cost)^2\, dt=\\\\\\=\int \Big(\; \dfrac{1}{2}\cdot sin2t\Big)^2\, dt=\dfrac{1}{4}\int sin^22t\, dt=\dfrac{1}{4}\int \dfrac{1-cos4t}{2}\, dt=\dfrac{1}{8}\int (1-cos4t)\, dt=$

$=\dfrac{1}{8}\cdot \Big(\; t-\dfrac{1}{4}\, sin4t\; \Big)+C=\dfrac{1}{8}\cdot (arccos\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{4}\, sin(4\, arccos\dfrac{1}{x})\Big)+C\; ;\\\\\\\\\int\limits^2_1\, \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}\, dx=\dfrac{1}{8}\cdot (arccos\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{4}\, sin(4\, arccos\dfrac{1}{x})\Big)\Big|_1^2=\\\\\\=\dfrac{1}{8}\cdot \Big(arccos\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\, sin(4\, arccos\dfrac{1}{2})-arccos1+\dfrac{1}{4}\, sin(4\, arccos1)\Big)=$

$=\dfrac{1}8}\cdot \Big(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{1}{4}\, sin\dfrac{4\pi }{3}-0+\dfrac{1}{4}\, sin0\; \Big)=\dfrac{1}{8}\cdot \Big(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}\; \Big)=\dfrac{1}{8}\cdot \Big (\dfrac{\pi }{3}+\dfrac{\sqrt3}{8}\; \Big)$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Maximp190302

29.01.2021 08:31

Решите x+3/x-3+x-3/x+3=3 1/3 169-(x*x) =0...

lenadanilova77

29.10.2022 00:44

Разложите на множетели: 1)a^4-b^4 2)a^6-b^6 3)a^8-b^8 4)a^4+a^3+a+1 5) (a+b)^3-(a-b)^3 6) (a+b)^4-(a-b)^4...

DariaMejor

29.10.2022 00:44

Найдите знаменатель прогрессии 8; -2; 1/2...

anavysockaa2060

29.10.2022 00:44

Составьте схему и решите с уравнения, турист в первый ден во второй -2/5 всего пути,а в третий-оставшиеся 18 км.какой путь турист за три дня...

liudmilka19091982

29.10.2022 00:44

Разложите на множители выражение х^6-х^2*у^4 а. (х^3-у^2)(х^3+у^2) в. х^2(х^2-у^2)^2 с. х^2(х^2+у^2)^2 д. х^2(х^2-у^2)(х^2+у^2)...

mariapodgornova

29.10.2022 00:44

Формулы куба суммы и куба разности двух выражений...

Солнышко150986

29.10.2022 00:44

Нарисуйте схему к этой 1.на теплоходе было 240 пассажиров.причем мужчин в 3 раза меньше,чем женщин ,а детей столько,сколько мужчин и женщин вместе.сколько мужчин,женщин и детей...

asssssw

29.10.2022 00:44

Докажите,что 10^9+10^8+10^7 ,кратно 222...

lenyanikiforovp07x7k

29.10.2022 00:44

Внешний угол треугольника равен 120 ° а в разности между двумя внутрениими не смежными с ним углами равен 40°. вычислите внутренние углы треугольника...

lizamrio1

29.10.2022 00:44

Решите систему уравнений: x+y/2 - 2y/3=5/2 3x/2+2y=0...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку