Найти площадь фигуры ограниченной параболами и у=4-х^2, у=(х-2)^2 и осью ОХ(№646(2))

ответ:

y = x^4 – 2x^2 – 8.

найдем координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс (х).

x^4 – 2x^2 – 8 = 0.

произведем замену: а = x^2, a^2 = x^4.

a^2 – 2а – 8 = 0.

дискриминант:

d = 2^2 – 4*(-8) = 4 + 32 = 36.

a1 = (2 + √36)/2 = (2 + 6)/2 = 8/2 = 4.

a2 = (2 - √36)/2 = (2 – 6)/2 = -4/2 = -2 – данное значения не подходит, потому что x^2 не может быть ниже нуля.

x^2 = 4 ⇒ х1 = 2, х2 = -2.

уравнение касательной:

у = f(x0) + f ‘(x0)(x – x0).

1. x0 = x1 = 2.

f(x0) = 2^4 – 2*(2^2) – 8 = 16 – 8 – 8 = 0.

f ‘(x) = 4x^3 – 4x.

f ‘(x0) = 4*8 – 4*2 = 32 – 8 = 24.

уравнение касательной:

у1 = 24(x – 2) = 24х – 48.

2. x0 = x1 = - 2.

f(x0) = (-2)^4 – 2*((-2)^2) – 8 = 16 – 8 – 8 = 0.

f ‘(x) = 4x^3 – 4x.

f ‘(x0) = 4*(-8) – 4*(-2) = -32 + 8 = -24.

уравнение касательной:

у2 = -24(x + 2) = -24х - 48.

3. чтобы найти точку пересечения касательных у1 = 24х – 48 и у2 = -24х - 48, приравняем их правые части и найдем координату х:

24х – 48 = -24х - 48;

24х + 24х = - 48 + 48;

48х = 0;

х = 0/48;

х = 0.

у1 = 24*0 – 48 = 0 – 48 = -48.

ответ: (0; -48).

г) (9/36)x²-(49/100)y²=

выносим за скобки общий множитель

=(1/900)×(225x²-441y²)=

=(1/900)×9×(25x²-49y²)=

=1/900)×9×(5x-7y)×(5x+7y)=

можем сократить

=(1/100)×(5x-7y)×(5x+7y)

д) 16x⁴-81x²y²=

выносим за скобки общий множитель

=x²(16x²-81y²)=x²(4x-9y)×(4x+9y)

е) (1/25)x⁴-(1/49)y^6(в шестой степени)

выносим за скобки общий знаменатель

=(1/1225)×(49x⁴-25y^6)=

=(1/1225)×(7x²-5y³)×(7x²+5y³)

ж) 4x-121x²=

выносим за скобки общий множитель

=x(4-121x) — (это и есть ответ)

з) y⁴-100=

раскладывание на множители

=(y²-10)×(y²+10)

и)49xy³-81x³y=

выносим за скобки общий множитель

=xy(49y²-81x²)=

=xy(7y-9x)×(7y+9x)