Добрый день! Очень рад, что Вы обратились ко мне за помощью. Давайте рассмотрим каждую из функций по отдельности и найдем их производные и дифференциалы.
1. Найдем производную и дифференциал функции f(x) = √x ⋅ e^(√x):
Шаг 1: Применим правило производной произведения функций (производная произведения равна произведению производных).
f'(x) = (√x)' ⋅ e^(√x) + √x ⋅ (e^(√x))'
Шаг 2: Найдем производные каждого слагаемого по отдельности.
(√x)' = (1/2) * x^(-1/2) (применяем правило производной для корня)
(e^(√x))' = e^(√x) * (√x)' = e^(√x) * (1/2) * x^(-1/2) (применяем правило производной для экспоненты)
Шаг 3: Подставим найденные производные в выражение для f'(x).
f'(x) = (1/2) * x^(-1/2) * e^(√x) + √x * e^(√x) * (1/2) * x^(-1/2)
Шаг 4: Распишем выражение с помощью правил алгебры и приведем к общему знаменателю.
f'(x) = (1/2) * x^(-1/2) * e^(√x) + (1/2) * x^(-1/2) * √x * e^(√x)
Шаг 5: После общего знаменателя можно сложить два слагаемых.
f'(x) = (1/2) * x^(-1/2) * e^(√x) + (1/2) * √x * x^(-1/2) * e^(√x)
1. Найдем производную и дифференциал функции f(x) = √x ⋅ e^(√x):
Шаг 1: Применим правило производной произведения функций (производная произведения равна произведению производных).
f'(x) = (√x)' ⋅ e^(√x) + √x ⋅ (e^(√x))'
Шаг 2: Найдем производные каждого слагаемого по отдельности.
(√x)' = (1/2) * x^(-1/2) (применяем правило производной для корня)
(e^(√x))' = e^(√x) * (√x)' = e^(√x) * (1/2) * x^(-1/2) (применяем правило производной для экспоненты)
Шаг 3: Подставим найденные производные в выражение для f'(x).
f'(x) = (1/2) * x^(-1/2) * e^(√x) + √x * e^(√x) * (1/2) * x^(-1/2)
Шаг 4: Распишем выражение с помощью правил алгебры и приведем к общему знаменателю.
f'(x) = (1/2) * x^(-1/2) * e^(√x) + (1/2) * x^(-1/2) * √x * e^(√x)
Шаг 5: После общего знаменателя можно сложить два слагаемых.
f'(x) = (1/2) * x^(-1/2) * e^(√x) + (1/2) * √x * x^(-1/2) * e^(√x)
Шаг 6: Упростим выражение, сократив x^(-1/2).
f'(x) = (1/2) * e^(√x) * (x^(-1/2) + √x * x^(-1/2))
Поздравляю! Мы нашли производную функции f(x) = √x ⋅ e^(√x).
Теперь перейдем к дифференциалу функции:
Дифференциал функции f(x) будет выглядеть следующим образом: df(x) = f'(x) * dx.
2. Теперь рассмотрим функцию f(x) = √(2x - 1) / x:
Шаг 1: Перепишем функцию в виде f(x) = (2x - 1)^(1/2) * x^(-1).
Шаг 2: Найдем производную и дифференциал функции.
Производная функции равна:
f'(x) = (1/2) * (2x - 1)^(-1/2) * 2 + (-1) * x^(-2).
Дифференциал функции будет:
df(x) = f'(x) * dx.
Таким образом, производная и дифференциал функции f(x) = √(2x - 1) / x равны:
f'(x) = (1/2) * (2x - 1)^(-1/2) * 2 + (-1) * x^(-2),
df(x) = f'(x) * dx.
Надеюсь, что мой ответ был исчерпывающим и понятным. Если у Вас остались дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!