Найти расстояние между фокусами эллипса[tex]rac{x^2}{16}+rac{y^2}{25}=1[/tex] - вопрос №216225110307724 от TsunamiBrain 08.03.2023 01:33

Question

Алгебра: Найти расстояние между фокусами эллипса[tex]rac{x^2}{16}+rac{y^2}{25}=1[/tex]

TsunamiBrain · Answer

Каноническое уравнение, задающее эллипс, выглядит так:

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

Перепишем уравнение эллипса, поменяв местами параметры и :

$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1\\\\\dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{4^2}=1$

При этом мы получим конгруэнтный эллипс, только повёрнутый в системе координат на 90° (конгруэнтность следует из симметричности канонического уравнения). Поэтому он будет иметь тот же эксцентриситет и то же фокальное расстояние.

Найдём эксцентриситет:

$e=\sqrt{1-\dfrac{4^2}{5^2}}=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}$

Найдём фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами):

$c=ae=5 \cdot \dfrac{3}{5}=3$

Тогда расстояние между фокусами в два раза больше: $3 \cdot 2=6$ .

ответ: 6 ед.

На чертеже изображён данный эллипс. F_1 и F_2 — его фокусы.

Найти расстояние между фокусами эллипса<img src=

" />