Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка. 1) $x^{3} y +x^{2} y=1$
2) $yy+ (y)^{2}=0, y(0)=1, y(0)=1$

Показать ответ

Ответ:

shcukinalena

15.10.2020 13:18

$1)\ \ x^3\cdot y''+x^2\cdot y'=1\\\\y'=z(x)\ \ ,\ \ y''=z'(x)\\\\x^3\cdot z'+x^2\cdot z=1\ \ ,\ \ \ z'+\dfrac{z}{x}=\dfrac{1}{x^3}\ \ ,\ \ \ z=uv\ ,\ z'=u'vz=uv'\ \ ,\\\\u'v+uv'+\dfrac{uv}{x}=\dfrac{1}{x^3}\ \ ,\ \ \ u'v+u\, (v'+\dfrac{v}{x})=\dfrac{1}{x^3}\ \ ,\\\\a)\ \ \dfrac{dv}{dx}=-\dfrac{v}{x}\ \ ,\ \ \int \dfrac{dv}{v}=-\int \dfrac{dx}{x}\ \ ,\ \ ln|v|=-ln|x|\ \ ,\ \ v=\dfrac{1}{x}$

$b)\ \ \dfrac{du}{dx}\cdot \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x^3}\ \ ,\ \ \int du=\int \dfrac{dx}{x^2}\ \ ,\ \ u=-\dfrac{1}{x}+C_1\\\\c)\ \ z=\dfrac{1}{x}\cdot (-\dfrac{1}{x}+C_1)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{C_1}{x}\\\\d)\ \ y'=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{C_1}{x}\ \ ,\ \ \int dy=\int (-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{C_1}{x})\, dx\ \ ,\\\\y=\dfrac{1}{x}+C_1\cdot ln|x|+C_2$

$2)\ \ y\cdot y''+(y')^2=0\ \ ,\ \ y(0)=1\ ,\ y'(0)=1\\\\y'=p(y)\ \ ,\ \ y''=\dfrac{dp}{dy}\cdot p\\\\y\cdot \dfrac{dp}{dy}\cdot p+p^2=0\ \ ,\ \ \dfrac{dp}{dy}\cdot yp=-p^2\ \ \int \dfrac{dp}{p}=-\int \dfrac{dy}{y}\ \ ,\\\\ln|p|=-ln|y|+lnC_1\ \ ,\ \ \ p=\dfrac{C_1}{y}\ \ ,\ \ y'=\dfrac{C_1}{y}\ \ ,\\\\y'(0)=1\ ,\ y(0)=1:\ \ 1=\dfrac{C_1}{1}\ \ \to \ \ C_1=1\\\\y'=\dfrac{1}{y}\ \ ,\ \ \int y\cdot dy=\int dx\ ,\\\\\dfrac{y^2}{2}=x+C_2\ \ ,\ \ y^2=2\, (x+C_2)\ \ ,$

$y(0)=1:\ \ 1=2(0+C_2)\ \ \to \ \ C_2=\dfrac{1}{2}\\\\y^2=2\, (x+\dfrac{1}{2})\ \ ,\ \ \ \underline {\ y^2=2x+1\ }$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Pudge3228

09.06.2020 20:24

Пусть [tex]f(x) = \frac{2}{ {4}^{x} + 2} [/tex]найдите значение выражения [tex]f( \frac{1}{2019}) + f( \frac{2}{2019} ) + ( \frac{2018}{2019} )[/tex]...

ИрэнУолтен

26.04.2021 15:37

(tg50°-tg20°)×cos50°×cos20°=1/2 решите нужно ...

Алинаплавчиха

02.08.2021 01:04

Втреугольнике abc угол c равен 90 градусов, ac=8,bc=4. найдите sin a....

ARDASHEV2019

02.08.2021 01:04

Надо.заранее . 1)решите систему уравнений 2x+4y=2 и x-3y=16 2)каким выражением можно заменить p , чтобы равенство 20a^2b : 4b =5p : b было верным?...

20kokosik26

06.05.2021 12:23

Сзавтра сдавать, система уравнений(b10) подробно с объяснением.заранее ....

Danilkal12

19.09.2022 03:45

Катер,швидкість якого у стоячій воді x км/год,пройшов 32 километра проти течіі річки та 24 км за течіею.складіть вираз для знаходження часу t, який катер затратив на весь шлях,якщо...

govnyaskaguly

30.08.2021 00:57

Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = -2х^2 на отрезке: [0; 2], [-1; 1,5]....

natalik2038

19.12.2021 21:14

Преобразуйте в многочлен: (по формуле) а) (a^2-2)^2 б) (5+c^3)^2 в) 2y^2-3x^2)^2...

yarikvasil

19.12.2021 21:14

Вволейбольной команде шесть человек,а на площадке шесть позиций для их расстановки сколькими команда может расположиться на площадке...

максим1718

02.07.2022 11:31

Розвяжіть систему рівнянь х+у=2 3х-2у підстановки 5х+6у=-8 7х+3у додавання...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку