Мы получили два значения х, при которых функция может иметь экстремум.
Шаг 3: Оценим значения функции в найденных значениях х и на концах отрезка.
Вычислим значения функции в точке x=-1:
у(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 24
= 2(-1) - 3(1) + 12 + 24
= -2 - 3 + 12 + 24
= 31
Вычислим значения функции в точке x=2:
у(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 24
= 2(8) - 3(4) - 24 + 24
= 16 - 12 - 24 + 24
= 4
Шаг 4: Сравним найденные значения функции.
На основании проведенного анализа, мы можем сделать следующие выводы:
- Наименьшее значение функции равно -4 и достигается на точке x=-2.
- Наибольшее значение функции равно 31 и достигается на точке x=-1.
Таким образом, наибольшее значение функции у на отрезке [-2;1] равно 31, а наименьшее значение равно -4.
Для решения данного неравенства, сначала нам нужно найти производную функции f(x).
Функция f(x) = arcsin(6x) имеет вид арксинуса, поэтому для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования арксинуса.
Производная функции arcsin(u), где u = 6x, равна:
f'(x) = 6 / √(1 - (6x)²)
Теперь заменим f'(x) в исходном неравенстве и рассмотрим два случая:
1) (f'(x))² > 1:
(6 / √(1 - (6x)²))² > 1
Упростим неравенство:
(36 / (1 - (6x)²)) > 1
(36 > 1 - (6x)²)
Перенесем - (6x)² влево и объединим все члены:
(6x)² + 36x - 35 > 0
2) (f'(x))² < 1:
(6 / √(1 - (6x)²))² < 1
Упростим неравенство:
(36 / (1 - (6x)²)) < 1
(36 < 1 - (6x)²)
Перенесем - (6x)² влево и объединим все члены:
(6x)² + 36x - 37 < 0
Далее, чтобы решить квадратное неравенство, мы можем использовать график функции или метод интервалов.
Если применить графический метод, мы можем построить график функции (6x)² + 36x - 35 и определить интервалы, на которых значение функции больше нуля. Затем, аналогично, мы строим график функции (6x)² + 36x - 37 и определяем интервалы, на которых значение функции меньше нуля. Таким образом, мы найдем интервалы, которым соответствуют значения x, для которых выполняются или не выполняются исходные неравенства.
Альтернативно, метод интервалов позволяет нам разложить исходное квадратное неравенство на факторы и определить знаки на интервалах между корнями разложения.
Однако, в данном случае, так как у нас нет прямой формулы для нахождения корней квадратного уравнения (6x)² + 36x - 35 = 0 и (6x)² + 36x - 37 = 0, я могу предложить вам метод подбора значений x, чтобы определить интервалы, при которых выполняются исходные неравенства. Например, вы можете выбрать значения x из каждого интервала и подставить их в исходные неравенства, чтобы определить, когда они выполняются.
Надеюсь, это поможет вам разобраться в решении данного неравенства. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться.
Шаг 1: Найдем значения функции на концах отрезка.
Вычислим значение функции в точке x=-2:
у(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 12(-2) + 24
= 2(-8) - 3(4) + 24
= -16 - 12 + 24
= -4
Вычислим значение функции в точке x=1:
у(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 12(1) + 24
= 2(1) - 3(1) - 12 + 24
= 2 - 3 - 12 + 24
= 11
Шаг 2: Проанализируем поведение функции на отрезке.
Используя методом анализа знаков производной, найдем экстремумы функции.
Вычислим производную функции:
у' = 6х2 - 6х - 12
Решим уравнение у' = 0:
6х2 - 6х - 12 = 0
Мы можем использовать метод дискриминанта для определения существования корней, а затем решить уравнение.
Дискриминант D = (-6)^2 - 4(6)(-12)
= 36 + 288
= 324
Так как D > 0, у нас есть два корня:
х1 = (-(-6) + √(324))/(2(6)) = (6 + 18)/(12) = 24/12 = 2
х2 = (-(-6) - √(324))/(2(6)) = (6 - 18)/(12) = -12/12 = -1
Мы получили два значения х, при которых функция может иметь экстремум.
Шаг 3: Оценим значения функции в найденных значениях х и на концах отрезка.
Вычислим значения функции в точке x=-1:
у(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 24
= 2(-1) - 3(1) + 12 + 24
= -2 - 3 + 12 + 24
= 31
Вычислим значения функции в точке x=2:
у(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 24
= 2(8) - 3(4) - 24 + 24
= 16 - 12 - 24 + 24
= 4
Шаг 4: Сравним найденные значения функции.
На основании проведенного анализа, мы можем сделать следующие выводы:
- Наименьшее значение функции равно -4 и достигается на точке x=-2.
- Наибольшее значение функции равно 31 и достигается на точке x=-1.
Таким образом, наибольшее значение функции у на отрезке [-2;1] равно 31, а наименьшее значение равно -4.
Функция f(x) = arcsin(6x) имеет вид арксинуса, поэтому для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования арксинуса.
Производная функции arcsin(u), где u = 6x, равна:
f'(x) = 6 / √(1 - (6x)²)
Теперь заменим f'(x) в исходном неравенстве и рассмотрим два случая:
1) (f'(x))² > 1:
(6 / √(1 - (6x)²))² > 1
Упростим неравенство:
(36 / (1 - (6x)²)) > 1
(36 > 1 - (6x)²)
Перенесем - (6x)² влево и объединим все члены:
(6x)² + 36x - 35 > 0
2) (f'(x))² < 1:
(6 / √(1 - (6x)²))² < 1
Упростим неравенство:
(36 / (1 - (6x)²)) < 1
(36 < 1 - (6x)²)
Перенесем - (6x)² влево и объединим все члены:
(6x)² + 36x - 37 < 0
Далее, чтобы решить квадратное неравенство, мы можем использовать график функции или метод интервалов.
Если применить графический метод, мы можем построить график функции (6x)² + 36x - 35 и определить интервалы, на которых значение функции больше нуля. Затем, аналогично, мы строим график функции (6x)² + 36x - 37 и определяем интервалы, на которых значение функции меньше нуля. Таким образом, мы найдем интервалы, которым соответствуют значения x, для которых выполняются или не выполняются исходные неравенства.
Альтернативно, метод интервалов позволяет нам разложить исходное квадратное неравенство на факторы и определить знаки на интервалах между корнями разложения.
Однако, в данном случае, так как у нас нет прямой формулы для нахождения корней квадратного уравнения (6x)² + 36x - 35 = 0 и (6x)² + 36x - 37 = 0, я могу предложить вам метод подбора значений x, чтобы определить интервалы, при которых выполняются исходные неравенства. Например, вы можете выбрать значения x из каждого интервала и подставить их в исходные неравенства, чтобы определить, когда они выполняются.
Надеюсь, это поможет вам разобраться в решении данного неравенства. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь обращаться.