Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти $\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{a1a2} + \frac{1}{a2a3} + + \frac{1}{a_{n}a_{n+1} })$ ,
где { $a_{k}$ } - арифметическая прогрессия, все члены и разность d которой отличны от нуля.

Показать ответ

Ответ:

Моначка

07.10.2020 08:12

Распишем сначала сумму для удобства и потом подсчитаем предел

$\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}+...+\dfrac{1}{a_na_{n+1}}=\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{d}{a_1a_2}+\dfrac{d}{a_2a_3}+...+\dfrac{d}{a_na_{n+1}}\right)=\\ \\ \\= \dfrac{1}{d}\left(\dfrac{d}{a_1(a_1+d)}+\dfrac{d}{(a_1+d)(a_1+2d)}+...+\dfrac{d}{(a_1+(n-1)d)(a_1+nd)}\right)=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{d}\bigg(\dfrac{a_1+d-a_1}{a_1(a_1+d)}+\dfrac{a_1+2d-(a_1+d)}{(a_1+d)(a_1+2d)}+...+\dfrac{a_1+nd-(a_1+(n-1)d)}{(a_1+(n-1)d)(a_1+nd)}\bigg)=$

$=\dfrac{1}{d}\bigg(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_1+d}+\dfrac{1}{a_1+d}-\dfrac{1}{a_1+2d}+...+\dfrac{1}{a_1+(n-1)d}-\dfrac{1}{a_1+nd}\bigg)=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{d}\cdot \left(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_1+nd}\right)$

Переходя к пределу при $n\to \infty$ мы получим

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_1+nd}\right)=\dfrac{1}{a_1d}$

ответ: $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}+...+\dfrac{1}{a_na_{n+1}}\right)=\dfrac{1}{a_1d}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

mialia9922

08.09.2021 23:08

Учитывая,что а≤0, вынесите множитель из-под знака корня в выражении корень из 50 а²...

szaikin

08.09.2021 23:08

Решить (5+a)2= (10-b)2= (4b-3)2= (a-3b)2= 81-a2= 16-b2= a4-25=...

Tima2005777

25.12.2021 02:12

Выполните вычитание многочленов: (-6х++2ху)...

rolleck

25.12.2021 02:12

Найдите производную функции f(x)=3x^2-4/5...

DOSYMZHAN1

11.07.2020 14:27

Вящике было в 3 раза больше яблок, чем в корзине. после того как из ящика вынули 16 яблок, а в корзину добавили 16 яблок, в ящике стало вдвое больше яблок, чем в корзине. сколько...

винишко12

11.07.2020 14:27

A)x(y-z)+3(z-y) г)x(x-4)-5(4-x) б)a(b-c)-b(c-b) д)b(b-1)+(1-b) в)m(n-1)+k(1-n) е)2(p-2)+p(2-p) a)2(x-y)+(x-y)^2 г)(x-y)+x(y-x) б)(a+b)^2-(a+b)(a-b) д)n(m-n)^2-(n-m)^3 в)(x-y)^2-y(y-x)^2...

vladiev

11.07.2020 14:27

Разложите многочлен на множители (с-1)3+27...

ifanati2008

05.10.2022 20:55

1. при каких значениях переменной определена дробь: а) 7/x+1 б) (7y+1)(2y-5)/(2y+7)(y-3) в) 5x^7-3x^2+1/x^2+5x+6 г) 2t-1/t^2+4 д) x+1/x-2 е) y^3+1/y^2-9 ё) w^2-3w+7/2w^2+9w-5 2....

Lybasha7

05.10.2022 20:55

Решить: корень из выражения 15-2x=3...

8алина82

16.06.2020 14:31

Решить преобразуйте в многочлен выражения: б). (p-5g)(p^2+5pg+25g^2 г). (3+2b)(9-6b+4b^2...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку