Найти а) частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям ;
б) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Подставим найденные значения C₁ и C₂ в общее решение
ответ : - 0,5 e^(-7x) +2,5 e^(-x) частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям.
- - - - - - -
б) y ' ' - 6y ' + 8y = 3e^ 4x
k² - 6k + 8 =0 ( характеристическое уравнение )
k₁ = 2 ;
k₂ = 4 .
y₀= C₁e^(2x) +C₂e^(4x) общее решение без правой части
Далее найдем частное решение данного уравнения по правой части у₁ =Axe^(4x) , у₁' = Ae^(4x) +4Axe^(4x) , у₁' ' = 4Ae^(4x) +4A(e^(4x) +4xe^(4x) )=8Ae^(4x) +16Axe^(4x)
1) 3x^2-7x+2=0
D=b^2-4ac
D=49-24=25
x1=-b+√D/2a => x1=7+5/6=2
x2=-b-√D/2a => x2=7-5/6=1/3
ответ: 2 и 1/3
2) x^2-23x+112=0
D=529-448=81
x1=23+9/2=16
x2=23-9/2=7
ответ: 16 и 7
3) 4x^2-20x+25=0
D=400-400=0
x=20/8=2,5
ответ: 2,5
4) 2x^2-5x-18=0
D=25+144=169
x1=5+13/4=4,5
x2=5-13/4=-2
ответ: 4,5 и -2
1) 7x^2-x-8=0
D=1+224=225
x1=1+15/14=8/7
x2=1-15/14=-1
ответ: 8/7 и -1
2) 6x^2+x-7=0
D=1+168=169
x1=-1+13/12=1
x2=-1-13/12=-7/6
ответ: 1 и -7/6
3) 3x^2-14x+15=0
x1=196-180=16
x1=14+4/6=3
x2=14-4/6=5/3
ответ: 3 и 5/3
4)2x^2+5x-12=0
D=25+96=121
x1=-5+11/4=1,5
x2=-5-11/4=-4
ответ: 1,5 и -4
Найти а) частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям ;
б) общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
a) y " + 8y ' + 7y = 0 ; y(0) = 2 ; y '(0) = 1 .
Составляем и решим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
k² + 8k +7 =0 D₁ = (8/2)² - 7 = 4² -7 = 9 = 3² ; √D₁ =3
* * * очевидно по т Виета * * * k = - 1 корень
k₁,₂ = - (8/2) ± 3
k₁ = -4 - 3 = - 7 ;
k₂ = - 4 + 3 = -1 .
Получены два различных действительных корня
Общее решение : y = C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) , где C₁ и C₂ произвольные константы (постоянные) .
* * * Придавая константам различные значения, можно получить бесконечно много частных решений * * *
Определим частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям : y(0) = 2 , y ' (0) = 1 .
y(0) = C₁e^(-7*0) +C₂e^(-0 ) = C₁ + C₂ = 2;
y ' = ( C₁e^(-7x) +C₂e^(-x) ) ' = -7*C₁e^(-7x) - C₂e^(-x)
y ' (0) = -7*C₁e^(-7*0) - C₂e^(-0) = - 7C₁ - C₂ = 1 .
- - - Составим и решим систему из двух найденных уравнений:
{ C₁ + C₂ = 2 ; {-6C₁ = 2+1 ; {C₁ = -0,5 ; { C₁ = - 0,5 ;
{ - 7C₁ - C₂ = 1 . { C₂ = - 7C₁ - 1. { C₂ =-7*(-0,5) -1 . { C₂ = 2,5 .
* * *методом сложения * * *
Подставим найденные значения C₁ и C₂ в общее решение
ответ : - 0,5 e^(-7x) +2,5 e^(-x) частное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям.
- - - - - - -
б) y ' ' - 6y ' + 8y = 3e^ 4x
k² - 6k + 8 =0 ( характеристическое уравнение )
k₁ = 2 ;
k₂ = 4 .
y₀= C₁e^(2x) +C₂e^(4x) общее решение без правой части
Далее найдем частное решение данного уравнения по правой части у₁ =Axe^(4x) , у₁' = Ae^(4x) +4Axe^(4x) , у₁' ' = 4Ae^(4x) +4A(e^(4x) +4xe^(4x) )=8Ae^(4x) +16Axe^(4x)
8Ae^(4x) +16Axe^(4x) - 6Ae^(4x) -24Axe^(4x) +8Axe^(4x) =3e^4x
2Ae^(4x) =3e^(4x ) ⇒ A =1,5 ; y₁=Axe^(4x) = 1,5xe^(4x)
y = y₀ + y₁ = C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x)
ответ : C₁e^(2x) +C₂e^(4x)+ 1,5xe^(4x) .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ay ' ' + by' + cy =0 ищем решение y= е^(kx) || ^ → степень ||
y ' = е^(kx) *(kx) ' =k*е^(kx) ; y '' =(y ' )'= (k*е^(kx) ) '=k*(е^(kx) ) '= k²*е^(kx) .
a*k²*е^(kx) + b*k*e^(kx)+c*e^(kx) =0 ;
е^(kx) * (ak² + bk +c) =0 ; е^(kx) ≠ 0 ⇒
a*k² + b*k + c = 0 ( характеристическое уравнение )
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *