Если бы все эти числа были одинаковыми, все попарные суммы были бы равны, что противоречит условию.
Если бы среди этих чисел были бы только два различных числа a<b, а остальные были бы равны одному или другому, то мы могли бы получить три различные суммы при условии, что оба эти числа встречаются хотя бы дважды. Тогда мы получили бы суммы a+a=2a (четное число), a+b и b+b=2b (тоже четное число). Но по условию только одна сумма четная, поэтому этот случай мы отвергаем.
Если среди этих чисел три различных числа a<b<c, то два оставшихся обязаны совпасть с одним из этих чисел. В противном случае, если бы, скажем, числа a и b встречались дважды, то как и в предыдущем случае мы получили бы две четные суммы, что противоречило бы условию. Если бы мы имели ситуацию a=a=a<b<c, то мы могли бы составить четыре различные суммы a+a<a+b<a+c<b+c, что также противоречит условию. Невозможна и ситуация a<b<c=c=c из-за наличия четырех различных сумм a+b<a+c<b+c<c+c. Остается случай a<b=b=b<c. Мы снова имеем четыре суммы a+b, a+c, b+b, b+c, причем a+b<a+c<b+c, a+b<b+b<b+c. Вывод: для того, чтобы мы имели только три различные суммы, должно выполняться равенство a+c=b+b. Так как b+b=2b - четное число, то 2b=40, b=20. Но с другой стороны, 40 - это минимальная сумма, значит именно a+b должно равняться 40. Это противоречие доказывает, что и эта ситуация невозможна.
Если бы среди этих чисел было 4 или пять различных, то мы имели бы больше трех различных сумм. Например, если a<b<c<d, то
a+b<a+c<a+d<b+d<c+d, то есть имеется как минимум 5 различных сумм.
Если бы все эти числа были одинаковыми, все попарные суммы были бы равны, что противоречит условию.
Если бы среди этих чисел были бы только два различных числа a<b, а остальные были бы равны одному или другому, то мы могли бы получить три различные суммы при условии, что оба эти числа встречаются хотя бы дважды. Тогда мы получили бы суммы a+a=2a (четное число), a+b и b+b=2b (тоже четное число). Но по условию только одна сумма четная, поэтому этот случай мы отвергаем.
Если среди этих чисел три различных числа a<b<c, то два оставшихся обязаны совпасть с одним из этих чисел. В противном случае, если бы, скажем, числа a и b встречались дважды, то как и в предыдущем случае мы получили бы две четные суммы, что противоречило бы условию. Если бы мы имели ситуацию a=a=a<b<c, то мы могли бы составить четыре различные суммы a+a<a+b<a+c<b+c, что также противоречит условию. Невозможна и ситуация a<b<c=c=c из-за наличия четырех различных сумм a+b<a+c<b+c<c+c. Остается случай a<b=b=b<c. Мы снова имеем четыре суммы a+b, a+c, b+b, b+c, причем a+b<a+c<b+c, a+b<b+b<b+c. Вывод: для того, чтобы мы имели только три различные суммы, должно выполняться равенство a+c=b+b. Так как b+b=2b - четное число, то 2b=40, b=20. Но с другой стороны, 40 - это минимальная сумма, значит именно a+b должно равняться 40. Это противоречие доказывает, что и эта ситуация невозможна.
Если бы среди этих чисел было 4 или пять различных, то мы имели бы больше трех различных сумм. Например, если a<b<c<d, то
a+b<a+c<a+d<b+d<c+d, то есть имеется как минимум 5 различных сумм.
Вывод: условия задачи внутренне противоречивы.
1) 5sinx =3 ⇔ sinx = 0,6 ⇒ x = (-1)ⁿarcsin(0,6) +πn , n ∈ ℤ .
2) 1 - 2sinx = 0⇔ sinx = 1/2 ⇒ x = (-1)ⁿπ/6 +πn , n ∈ ℤ .
3) 4sinx +5 =0 ⇔ sinx = -1,25 ⇒ x ∈ ∅ . не имеет решения | sinx | ≤ 1
4) 2sin(3x +π/3) + √3 =0 ⇔sin(3x +π/3) = -(√3) /2 ⇒
3x+ π/3 = (-1) ⁿ⁻¹ π/3 + πn ⇔ (совокупность _ИЛИ )
[ 3x+ π/3 = - π/3 + π*2k ; 3x+ π/3 = π/3 + π*(2k+1) , k ∈ ℤ ⇔
[ x = - 2π/9 + (2π/3)k ; x= (π/3)(2k+1) , k ∈ ℤ
5) 12sin(x/4 -π/6) -12 =0 ⇔sin(x/4 -π/6) =1 ⇒ x/4 -π/6 =π/2 +2πk ,k ∈ ℤ ⇔
x = 8π/3 +8πk ,k ∈ ℤ
6) (2sin4x - 4)(2sinx+1) =0 ⇔ (sin4x -2)(sinx +1/2) = 0 ||sin4x ≠2 || ⇔
sinx +1/2 =0 ⇔sinx = -(1/2) ⇒ x =(-1) ⁿ⁻¹ *(π/6) + πn , n ∈ ℤ
7) sin(x/2)cos(x/3) -cos(x/2)sin(x/3) =0⇔sin(x/2 - x/3) =0 ⇔sin(x/6) =0 ⇒
x/6 =πn , n ∈ ℤ ≡ x = 6πn , n ∈ ℤ
8) 4sin3x*cos3x - √2 =0 ⇔ 2sin(2*3x) - √2 =0 ⇔sin(6x) =(√2)/2 ⇔
6x =π/4 +πn , n∈ℤ ⇔ x = π/24 +(π/4)*n , n∈ℤ