Решение: 1) Область определения: D(y) x²-2x≠0 (-∞;0) (0;2) (2;∞) 2) Множество значений функции: (-∞;∞) 3) Проверим является функция четной или нечетной: y(x)=(x-1)/(x²-2x) y(-x)=(-x-1)/(x²+2x), так как y(-x)≠-y(x) и y(x)≠y(-x), то функция не является ни четной ни не четной. 4) Найдем нули функции: у=0, получаем х-1=0; х=1 Итак график пересекат ось абсцисс в точке (1;0) 5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания: y'=(x²-2x-(2x-2)(x-1))/(x²-2x)²=(-x²+2x-2)/(x²-2x)² ; y'=0 -x²+2x-2=0 уравнение не имеет корней, следовательно точей экстремума функция не имеет. Так как y'< 0 на всей области определения, то функция убывает. 6) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости функции: y"=((2-2x)(x²-2x)²-2(x²-2x)(2x-2)(2x-x²-2))/(x²-2x)^4=(2x³-6x²+6x-4)/(x²-2x)³; y"=0 2x³-6x²+6x-4=0 (x-1)(x²-2x+4)=0 x=1 Так как промежутках (-∞;0) (0;1) y"< 0, то на этих промежутках график направлен выпуклостью вверх Так как на промежутках (1;2) (;∞) y"> 0, то на этих промежутках график направлен выпуклостью вниз. Точка х=1 является точкой перегиба функции. у (1)=0 7) Найдем асимптоты функции: а) вертикальные: lim (при х->0-) (x-1)/(x²-2x)=-∞ lim (при х->0+) (x-1)/(x²-2x)=∞ следовательно прямая х=0 является вертикальной асимптотой. lim (при х->2-) (x-1)/(x²-2x)=-∞ lim (при х->2+) (x-1)/(x²-2x)=∞ следовательно прямая х=2 является вертикальной асимптотой. б) наклонные у=kx+b k=lim (при x->∞) y(x)/x=lim (при x->∞) (x-1)/(x³-2x²)=0 b=lim (при x->∞) (y(x)-kx)=lim (при x->∞) (x-1)/(x²-2x)=0 следовательно прямая у=0 является горизонтальной асимптотой: 8) Все строй график!
(x -3) /(√x² +2) < 0 и ( 3- х) (|х|+ 5) > 0 равносильны ли ?
(x -3) / (√x² +2) < 0 ; частное двух чисел отрицательно
* * * решение не меняется , если вместо (√x² +2 ) будет √(x² +2) * * *
т.к. √x² +2 > 0 ,то x - 3 < 0 ⇔ x < 3 .
---
(3 -x ) ( |х| + 5) > 0 , произведение двух множителей положительно
т.к. |х|+ 5 > 0 ,то 3 - x > 0 ⇔ x < 3 .
или ( 3- х) (|х|+ 5) > 0) || *(-1) ;
( x- 3) (|х|+ 5) < 0 ; |х|+ 5 > 0 ⇒ x- 3< 0 ⇔ x < 3 .
ответ: неравенства равносильны имеют одинаковые решения_
x ∈ ( -∞; 3) .
1) Область определения: D(y) x²-2x≠0
(-∞;0) (0;2) (2;∞)
2) Множество значений функции: (-∞;∞)
3) Проверим является функция четной или нечетной:
y(x)=(x-1)/(x²-2x)
y(-x)=(-x-1)/(x²+2x), так как y(-x)≠-y(x) и y(x)≠y(-x), то функция не является ни четной ни не четной.
4) Найдем нули функции:
у=0, получаем х-1=0; х=1
Итак график пересекат ось абсцисс в точке (1;0)
5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания:
y'=(x²-2x-(2x-2)(x-1))/(x²-2x)²=(-x²+2x-2)/(x²-2x)² ; y'=0
-x²+2x-2=0 уравнение не имеет корней, следовательно точей экстремума функция не имеет.
Так как y'< 0 на всей области определения, то функция убывает.
6) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости функции:
y"=((2-2x)(x²-2x)²-2(x²-2x)(2x-2)(2x-x²-2))/(x²-2x)^4=(2x³-6x²+6x-4)/(x²-2x)³; y"=0
2x³-6x²+6x-4=0
(x-1)(x²-2x+4)=0
x=1
Так как промежутках (-∞;0) (0;1) y"< 0, то на этих промежутках график направлен выпуклостью вверх
Так как на промежутках (1;2) (;∞) y"> 0, то на этих промежутках график направлен выпуклостью вниз.
Точка х=1 является точкой перегиба функции.
у (1)=0
7) Найдем асимптоты функции:
а) вертикальные:
lim (при х->0-) (x-1)/(x²-2x)=-∞
lim (при х->0+) (x-1)/(x²-2x)=∞ следовательно прямая х=0 является вертикальной асимптотой.
lim (при х->2-) (x-1)/(x²-2x)=-∞
lim (при х->2+) (x-1)/(x²-2x)=∞ следовательно прямая х=2 является вертикальной асимптотой.
б) наклонные у=kx+b
k=lim (при x->∞) y(x)/x=lim (при x->∞) (x-1)/(x³-2x²)=0
b=lim (при x->∞) (y(x)-kx)=lim (при x->∞) (x-1)/(x²-2x)=0
следовательно прямая у=0 является горизонтальной асимптотой:
8) Все строй график!