Алгебра есть не что иное, как математический язык, при для
обозначения отношений между количествами”.
И. Ньютон
Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над
различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.
Решим задачу: “Возрасты трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет
возраст старшего будет равен сумме возрастов обоих младших братьев?”
Обозначив искомое число лет через х, составим уравнение: 30 + х = (20+х) +
(6 + х) откуда х = 4. Близкий к описанному метод решения задач был известен
еще во II тысячелетии до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не
применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней
математических папирусах имеются не только задачи, которые приводят к
уравнениям первой степени с одним неизвестным, как в задаче о возрасте
братьев, но и задачи, приводящие к уравнениям вида ах2 = b.
Еще более сложные задачи умели решать с начала II тысячелетия до н.э. в
Древнем Вавилоне; в математических текстах, выполненных клинописью на
глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы
уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При
этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решения “типовых”
задач, из которых решения аналогичных задач получались заменой числовых
данных. В числовой форме приводились и некоторые правила тождественных
преобразований. Если при решении уравнения надо было извлекать квадратный
корень из числа а, не являющегося точным квадратом, находили приближенное
значение корня х: делили а на х и брали среднее арифметическое чисел х и
а/х.
Для таких уравнений Диофант искал лишь положительные рациональные решения.
С VI в. центр математических исследований перемещается в Индию и Китай,
страны Ближнего Востока и Средней Азии. Китайские ученые разработали метод
последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных
уравнений, дали новые методы приближенного решения уравнений высших
степеней. Индийские математики использовали отрицательные числа и
усовершенствовали буквенную символику. Однако лишь в трудах ученых Ближнего
Востока и Средней Азии алгебра оформилась в самостоятельную ветвь
математики, трактующую вопросы, связанные с решением уравнений. В IX в.
узбекский математик и астроном Мухаммед ал-Хорезми написал трактат “Китаб
аль-джебр валь-мукабала”, где дал общие правила для решения уравнений
первой степени. Слово,,алъ-джебр" (восстановление), от которого новая наука
алгебра получила свое название, означало перенос отрицательных членов
уравнения из одной его части в другую с изменением знака. Ученые Востока
изучали и решение кубических уравнений, хотя не сумели получить общей
формулы для их корней.
В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных
математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок.
1170 – после 1228). Его “Книга абака” (1202) – трактат, который содержал
сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно (см.
Числа Фибоначчи). Первым крупным самостоятельным достижением
западноевропейских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения
кубического уравнения. Это было заслугой итальянских алгебраистов С. Дель
Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Ученик последнего – Л. Феррари решил и
уравнение 4-й степени. Изучение некоторых вопросов, связанных с корнями
кубических уравнений, привело итальянского алгебраиста Р. Бомбелли к
открытию комплексных чисел.
Объяснение: Точки функції є критичними, якщо похідна в цих точках =0. Критичні точки є точками max, коли похідна в цій точці змінює знак з + на -.
1) f'(x)=-2x+12, -2x+12=0, x=6
f'(5)=-2·5+12=2 +
f'(7)=-2·7+12=-2 -
Точка з абсцисою x=6 є точкою max
2)f'(x)=-4x³+16x, -4x³+16x=0, 4x·(4-x²)=0, 4x·(2-x)·(2+x)=0
x₁=0, x₂=2, x₃=-2 - критичні точки
f'(-3)=-4·(-3)³+16·(-3)=108-48=60 +
f'(-1)=-4·(-1)³+16·(-1)=4-16=-12 -
f'(1)=-4·1³+16·1=-4+16=12 +
f'(3)=-4·3³+16·3=-108+48=-60 -
Точки з абсцисами x₃=-2 і x₂=2 є точками max
3) f'(x)=6x²-6x, 6x²-6x=0, 6x(x-1)=0
x₁=0, x₂=1 критичні точки.
f'(-1)=6·(-1)²-6·(-1)=6+6=12 +
f'(1/2)=6·(1/2)²-6·(1/2)=3/2-3=-3/2 -
f'(5)=6·5²-6·5=150-30=120 +
Точка з абсцисою x₁=0 є точкою max
4) f'(x)= 2x³-2x, 2x³-2x=0, 2x(x²-1)=0, 2x(x-1)(x+1)=0
x₁=0, x₂=1, x₃=-1 - критичні точки
f'(-4)=2·(-4)³-2·(-4)=-128+8=-120 -
f'(-1/2)=2·(-1/2)³-2·(-1/2)=-1/4+1=3/4 +
f'(1/2)=2·(1/2)³-2·(1/2)=1/4-1=-3/4 -
f'(2)=2·2³-2·2=16-4=12 +
Алгебра есть не что иное, как математический язык, при для
обозначения отношений между количествами”.
И. Ньютон
Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над
различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.
Решим задачу: “Возрасты трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет
возраст старшего будет равен сумме возрастов обоих младших братьев?”
Обозначив искомое число лет через х, составим уравнение: 30 + х = (20+х) +
(6 + х) откуда х = 4. Близкий к описанному метод решения задач был известен
еще во II тысячелетии до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не
применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней
математических папирусах имеются не только задачи, которые приводят к
уравнениям первой степени с одним неизвестным, как в задаче о возрасте
братьев, но и задачи, приводящие к уравнениям вида ах2 = b.
Еще более сложные задачи умели решать с начала II тысячелетия до н.э. в
Древнем Вавилоне; в математических текстах, выполненных клинописью на
глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы
уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При
этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решения “типовых”
задач, из которых решения аналогичных задач получались заменой числовых
данных. В числовой форме приводились и некоторые правила тождественных
преобразований. Если при решении уравнения надо было извлекать квадратный
корень из числа а, не являющегося точным квадратом, находили приближенное
значение корня х: делили а на х и брали среднее арифметическое чисел х и
а/х.
Для таких уравнений Диофант искал лишь положительные рациональные решения.
С VI в. центр математических исследований перемещается в Индию и Китай,
страны Ближнего Востока и Средней Азии. Китайские ученые разработали метод
последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных
уравнений, дали новые методы приближенного решения уравнений высших
степеней. Индийские математики использовали отрицательные числа и
усовершенствовали буквенную символику. Однако лишь в трудах ученых Ближнего
Востока и Средней Азии алгебра оформилась в самостоятельную ветвь
математики, трактующую вопросы, связанные с решением уравнений. В IX в.
узбекский математик и астроном Мухаммед ал-Хорезми написал трактат “Китаб
аль-джебр валь-мукабала”, где дал общие правила для решения уравнений
первой степени. Слово,,алъ-джебр" (восстановление), от которого новая наука
алгебра получила свое название, означало перенос отрицательных членов
уравнения из одной его части в другую с изменением знака. Ученые Востока
изучали и решение кубических уравнений, хотя не сумели получить общей
формулы для их корней.
В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных
математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок.
1170 – после 1228). Его “Книга абака” (1202) – трактат, который содержал
сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно (см.
Числа Фибоначчи). Первым крупным самостоятельным достижением
западноевропейских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения
кубического уравнения. Это было заслугой итальянских алгебраистов С. Дель
Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Ученик последнего – Л. Феррари решил и
уравнение 4-й степени. Изучение некоторых вопросов, связанных с корнями
кубических уравнений, привело итальянского алгебраиста Р. Бомбелли к
открытию комплексных чисел.
Объяснение: Точки функції є критичними, якщо похідна в цих точках =0. Критичні точки є точками max, коли похідна в цій точці змінює знак з + на -.
1) f'(x)=-2x+12, -2x+12=0, x=6
f'(5)=-2·5+12=2 +
f'(7)=-2·7+12=-2 -
Точка з абсцисою x=6 є точкою max
2)f'(x)=-4x³+16x, -4x³+16x=0, 4x·(4-x²)=0, 4x·(2-x)·(2+x)=0
x₁=0, x₂=2, x₃=-2 - критичні точки
f'(-3)=-4·(-3)³+16·(-3)=108-48=60 +
f'(-1)=-4·(-1)³+16·(-1)=4-16=-12 -
f'(1)=-4·1³+16·1=-4+16=12 +
f'(3)=-4·3³+16·3=-108+48=-60 -
Точки з абсцисами x₃=-2 і x₂=2 є точками max
3) f'(x)=6x²-6x, 6x²-6x=0, 6x(x-1)=0
x₁=0, x₂=1 критичні точки.
f'(-1)=6·(-1)²-6·(-1)=6+6=12 +
f'(1/2)=6·(1/2)²-6·(1/2)=3/2-3=-3/2 -
f'(5)=6·5²-6·5=150-30=120 +
Точка з абсцисою x₁=0 є точкою max
4) f'(x)= 2x³-2x, 2x³-2x=0, 2x(x²-1)=0, 2x(x-1)(x+1)=0
x₁=0, x₂=1, x₃=-1 - критичні точки
f'(-4)=2·(-4)³-2·(-4)=-128+8=-120 -
f'(-1/2)=2·(-1/2)³-2·(-1/2)=-1/4+1=3/4 +
f'(1/2)=2·(1/2)³-2·(1/2)=1/4-1=-3/4 -
f'(2)=2·2³-2·2=16-4=12 +
Точка з абсцисою x₁=0 є точкою max