Войти Регистрация Спроси ai-bota

Необходимо вычислить длину дуги и объем тела, полученного вращение вокруг оси Оx

Необходимо вычислить длину дуги и объем тела, полученного вращение вокруг оси Оx

Показать ответ

Ответ:

monyachina1081p08tm7

05.05.2021 23:04

${}\ \ y=x^2-1\ \ ,\ \ OX:y=0\ \ ,\\\\x^2-1=0\ \ ,\ \ x^2=1\ \ ,\ \ x=\pm 1\\\\l=\int\limits^1_{-1} \, \sqrt{1+(y')^2}\, dx=\int\limits^1_{-1} \, \sqrt{1+(2x)^2}\, dx=\int\limits^1_{-1} \, \sqrt{1+4x^2}\, dx=(\star )\\\\\\Q=\int \sqrt{1+4x^2}\, dx=\Big[\ u=\sqrt{1+4x^2}\ ,\ du=\dfrac{8x\, dx}{2\sqrt{1+4x^2}}=\dfrac{4x\, dx}{\sqrt{1+4x^2}}\ ,\\\\\\dv=dx\ \ ,\ \ v=x\ \Big]=uv-\int v\, du=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-\int \dfrac{4x^2\, dx}{\sqrt{1+4x^2}}=$

$=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-\int \dfrac{(1+4x^2)-1}{\sqrt{1+4x^2}}\, dx=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-\int \Big(\dfrac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{1+4x^2}}\Big)\, dx=\\\\\\=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-\int \sqrt{1+4x^2}\, dx+\int \dfrac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}=\\\\\\=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-\int \sqrt{1+4x^2}\, dx+\dfrac{1}{2}\int \dfrac{d(2x)}{\sqrt{1+(2x)^2}}=\\\\\\=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-Q+\dfrac{1}{2}\cdot ln\Big|\, 2x+\sqrt{1+4x^2}\, \Big|+C\ \ \ \Rightarrow$

$2Q=x\cdot \sqrt{1+4x^2}+\dfrac{1}{2}\cdot ln\Big|\, 2x+\sqrt{1+4x^2}\, \Big|+C\\\\\\Q=\dfrac{1}{2}\, x\cdot \sqrt{1+4x^2}+\dfrac{1}{4}\cdot ln\Big|\, 2x+\sqrt{1+4x^2}\, \Big|+\dfrac{C}{2}$

$(\star )=\int\limits^1_{-1}\, \sqrt{1+4x^2}\, dx=\Big(\dfrac{1}{2}\, x\cdot \sqrt{1+4x^2}+\dfrac{1}{4}\cdot ln\Big|\, 2x+\sqrt{1+4x^2}\, \Big|\Big)\Big|_{-1}^1=\\\\\\=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt5+\dfrac{1}{4}\cdot ln\, \Big|\, 2+\sqrt5\, \Big|+\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt5-\dfrac{1}{4}\cdot ln\, \Big|\, -2+\sqrt5\, \Big|=\\\\\\=\sqrt5+\dfrac{1}{4}\cdot ln\Big(\dfrac{2+\sqrt5}{\sqrt5-2}\Big)\ ;$

$l=\sqrt5+\dfrac{1}{4}\cdot ln\Big(\dfrac{2+\sqrt5}{\sqrt5-2}\Big)$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

tim2424

14.11.2022 05:04

до ть 1 варіант друге завдання...

Vovanchik5978

28.06.2021 13:23

Знайдіть координати точки перетину графіка функції y=5x-1 із віссю абсцис...

blvckbubblegum

11.11.2021 10:32

Решение прикладных задач с свойств квадратичной функции. Урок 1 Завод производит х пылесосов в день. Прибыль от производства пылесосов дана функцией P= -3х2 +240x– 600 (в долларах)....

12Камилла1

29.05.2021 06:16

Найди значение выражения (х+3)(3х+1)-(2х-3)(1-х) при х...

maksisenko6451

26.09.2022 15:32

Замените звездочки числами так, чтобы решения были верными а) 5(10+6) = * + * б) 4(* + *) = 16+20 в) *(11- 3) = * - 21 г) 20(* - *) = 80 – 60 д) * + 11)3 = 21 + * с) (* - 12)5 =...

LPKenion

24.11.2022 17:56

Даны векторы: ⃗ ⃗(-3;0;4) и (2;4;-4) 15 580 Запишите: 1). Координаты вектора 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2). Найдите сумму векторов + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3). Найдите разность векторов – ⃗⃗ 4).Длину...

krictina1959

21.09.2020 17:20

Разложите многочлен на множители а²-8ау+16у²+3а-12у...

Zayka1231

26.06.2021 12:56

Раскройте скобки и упростите(2x-3)(x³+Ax²+Bx-2)...

YuliaVaskiv

17.03.2023 12:19

Нужен график: y=x^2+3 ЗАРАНЕЕ...

narutoluffi1

21.02.2023 13:38

1. Постройте по алгоритму график функции: у= х^2 - 4 с рисунком и подробное решение...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку