Математическая запись a≡b (mod c) означает, что числа a и b сравнимы по модулю с, который и называется модулем сравнения, при этом числа a и b делятся на число с без остатка и, что важно, выполняется равенство: a=b+c*k, k∈Z
Имеется два множества А и В. Наша задача - найти число пересечений множеств А и В.
А = {x| 1 ≤ x ≤ 150, x ≡ 4 (mod5)}
x = 4+5*k, k∈Z, 1≤x≤150
k=0 x₁=4+5*0=4
k=1 x₂=4+5*1=9
k=2 x₃=4+5*2=14
А - арифметическая прогрессия, где x₁=4, d=9-4=5
k=29 x₂₉=4+5*29=149
A={4; 9; 14; ...; 149}
B = {y| 75 ≤ y ≤ 200, y ≡ 2 (mod 3)}
y=2+3*m, m∈Z, 75 ≤ y ≤ 200
m=25 y₁=2+3*25=77
m=26 y₂=2+3*26=80
m=27 y₃=2+3*27=83
В- арифметическая прогрессия, где у₁=77, d=80-77=3
m=66 y₄₂=2+3*66=200
B={77; 80; 83; ...; 200}
Находим A∩B - пересечение множеств А и В. Это числа из найденных арифметических прогрессий, лежащие в интервале [75;150]:
Приделении на 3 может получиться только три разных остатка: 0, 1 и 2.
Очевидно, что если поставить подряд два числа, у которых при делении на 3 получаются остатки 1 и 2, то их сумма разделится нацело на 3.
Три одинаковых остатка также подряд стоять не могут, потому что тогда их сумма кратна 3.
Значит в любой тройке идущих подряд чисел должно быть:
1) два числа с одинаковыми остатками и число с остатком 0
либо
2) два числа с остатком 0 и одно с ненулевым остатком.
Так как вопрос стоял о минимуме, то наш случай - под номером 1. То есть кратно трём каждое третье число.
ответ: 15.
Объяснение:
Математическая запись a≡b (mod c) означает, что числа a и b сравнимы по модулю с, который и называется модулем сравнения, при этом числа a и b делятся на число с без остатка и, что важно, выполняется равенство: a=b+c*k, k∈Z
Имеется два множества А и В. Наша задача - найти число пересечений множеств А и В.
А = {x| 1 ≤ x ≤ 150, x ≡ 4 (mod5)}
x = 4+5*k, k∈Z, 1≤x≤150
k=0 x₁=4+5*0=4
k=1 x₂=4+5*1=9
k=2 x₃=4+5*2=14
А - арифметическая прогрессия, где x₁=4, d=9-4=5
k=29 x₂₉=4+5*29=149
A={4; 9; 14; ...; 149}
B = {y| 75 ≤ y ≤ 200, y ≡ 2 (mod 3)}
y=2+3*m, m∈Z, 75 ≤ y ≤ 200
m=25 y₁=2+3*25=77
m=26 y₂=2+3*26=80
m=27 y₃=2+3*27=83
В- арифметическая прогрессия, где у₁=77, d=80-77=3
m=66 y₄₂=2+3*66=200
B={77; 80; 83; ...; 200}
Находим A∩B - пересечение множеств А и В. Это числа из найденных арифметических прогрессий, лежащие в интервале [75;150]:
А={...; 79;84;89;94;99;104;109;114;119;124;129;134;139;144;149}
B={77;80;83;86;89;92;95;98;101;104;107;110;113;116;119;122;125;128;131;134;
137;140;143;146;149;...;197;200}
A∩B={89; 104; 119; 134; 149} - пересечение множеств А и В
Количество чисел в пересечении равно 5
S(A∩B)=5
ответ: В) 5