Дано уравнение 4sin(x)+3cos(x)=3. Введём замену: у = tg(x/2). Тогда sin(x) = 2y/(y²+1), cos(x) = (1-y²)/(y²+1). Тогда исходное уравнение примет вид: 4*(2y/(y²+1))+3*((1-y²)/(y²+1))-3 = 0. Раскроем скобки и приведём подобные. (8у+3-3у²-3у²-3)/(у²+1) = 0. (8у-6у²)/(у²+1) = 0. Если дробь равна нулю, то нулю равен числитель. 8у-6у² = 0. Сократим на -2: 3у²-4у = 0 или у(3у-4) = 0. Отсюда у = 0 (этот корень не соответствует заданию), 3у-4 = 0. у = (4/3). Обратная замена: tg(x/2) = 4/3. x/2 = arc tg(4/3)+πк, x = 2arc tg(4/3)+2πк = 2(0,927295 + πk). Заданию соответствует значение при к = 0, то есть: х = 2arc tg(4/3) ≈ 1,85459.
Да, кстати, корень кубического уравнения единственный в поле действительных чисел, так как его дискриминант больше нуля.
Теперь, при таком значении а правая часть вышенаписанного уравнения - это полный квадрат. Найдем корень, учитывая это:
Теперь свернем правую часть в полный квадрат и решим обычное квадратное уравнение:
Рассмотрим первую скобку и найдем такие t, при которых она обнуляется. Получим:
Честно говоря, мне кажется, в условии допущена ошибка. Циферки сами подставите и посчитаете, писать это неудобно.
Тартальи и Ферарро.
Введём замену: у = tg(x/2).
Тогда sin(x) = 2y/(y²+1), cos(x) = (1-y²)/(y²+1).
Тогда исходное уравнение примет вид:
4*(2y/(y²+1))+3*((1-y²)/(y²+1))-3 = 0.
Раскроем скобки и приведём подобные.
(8у+3-3у²-3у²-3)/(у²+1) = 0.
(8у-6у²)/(у²+1) = 0.
Если дробь равна нулю, то нулю равен числитель.
8у-6у² = 0.
Сократим на -2:
3у²-4у = 0 или у(3у-4) = 0.
Отсюда у = 0 (этот корень не соответствует заданию),
3у-4 = 0.
у = (4/3).
Обратная замена: tg(x/2) = 4/3.
x/2 = arc tg(4/3)+πк,
x = 2arc tg(4/3)+2πк = 2(0,927295 + πk).
Заданию соответствует значение при к = 0, то есть:
х = 2arc tg(4/3) ≈ 1,85459.