Максимальную площадь при заданном периметре будет иметь квадрат. Следовательно, при заданной площади минимальный периметр также будет у квадрата.
Сторона такого квадрата: а = √20000 = 100√2 ≈ 141,42 (м)
Периметр, соответственно:
Р = 4а = 4*100√2 = 400√2 ≈ 565,68 (м)
Постараемся в этом убедиться:
Площадь участка: ab = 20 000 => b = 20 000/a,
где a и b - стороны участка.
Периметр участка:
Р = 2(a + b) = 2(a + (20000/a)) = 2a + 40000/a
Исследуем функцию производной
P'(a) = 2 – (40000/a²)
P'(a) = (2a² – 40000)/a²
P'(a) = 0
2a² – 40000 = 0
a² = 20000
a = √20 000 = 100√2 (м)
b = 20 000/100√2 = 200/√2 = 200√2/2 = 100√2 (м)
Таким образом, искомый прямоугольник с минимальным периметром при заданной площади, действительно является квадратом со стороной а = b = 100√2 (м).
PS. Если требуется найти точное значение длин сторон, то, максимально приближенный к квадрату прямоугольник с площадью 20000 м² будет иметь стороны 125 м и 160 м.
Периметр такого прямоугольника: Р = 2*285 = 570 (м)
Турист, вышедший из п.А : Расстояние S₁ = 9 (км ) Скорость V₁ = x (км/ч) Время в движении t₁ = 9/x (ч.) Время привала t пр. = 30 мин. = 30/60 часа = 0,5 (ч.) Время на путь до момента встречи t₁ + t пр. = 9/х + 0,5 (ч.)
Турист, вышедший из п.В : Расстояние S₂ = 19 - 9 = 10 (км) Скорость V₂ = x - 1 (км/ч) Время на путь до момента встречи t₂ = 10/(x - 1) (ч.)
Так как туристы вышли навстречу друг другу одновременно, то затратили на путь до момента встречи равное количество времени: t₁ + t пр. = t₂ ⇒ уравнение: 9/х + 0,5 = 10/(х - 1) знаменатели не равны 0 ⇒ х≠0 ; х≠ 1 9/х + 1/2 = 10/(х - 1) (18 + х) / 2х = 10/(х - 1) решим, как пропорцию : (18 + х)(х - 1) = 2х * 10 18x - 18 +x² -x = 20x x² + 17x - 18 - 20x = 0 x² - 3x - 18 = 0 D = (-3)² - 4*1*(-18) = 9 + 72 = 81 = 9² D>0 - два корня уравнения х₁ = ( - (-3) - 9) /(2*1) = (3 - 9)/2 = -6/2 = - 3 не удовлетворяет условию задачи, т.к. скорость - неотрицательная величина х₂ = ( - (-3) + 9) /(2*1) = (3 + 9)/2 = 12/2 = 6 (км/ч) скорость туриста, вышедшего из пункта А
2 га = 20000 м²
Максимальную площадь при заданном периметре будет иметь квадрат. Следовательно, при заданной площади минимальный периметр также будет у квадрата.
Сторона такого квадрата: а = √20000 = 100√2 ≈ 141,42 (м)
Периметр, соответственно:
Р = 4а = 4*100√2 = 400√2 ≈ 565,68 (м)
Постараемся в этом убедиться:
Площадь участка: ab = 20 000 => b = 20 000/a,
где a и b - стороны участка.
Периметр участка:
Р = 2(a + b) = 2(a + (20000/a)) = 2a + 40000/a
Исследуем функцию производной
P'(a) = 2 – (40000/a²)
P'(a) = (2a² – 40000)/a²
P'(a) = 0
2a² – 40000 = 0
a² = 20000
a = √20 000 = 100√2 (м)
b = 20 000/100√2 = 200/√2 = 200√2/2 = 100√2 (м)
Таким образом, искомый прямоугольник с минимальным периметром при заданной площади, действительно является квадратом со стороной а = b = 100√2 (м).
PS. Если требуется найти точное значение длин сторон, то, максимально приближенный к квадрату прямоугольник с площадью 20000 м² будет иметь стороны 125 м и 160 м.
Периметр такого прямоугольника: Р = 2*285 = 570 (м)
Площадь: S = 125*160 = 20000 (м²)
Расстояние S₁ = 9 (км )
Скорость V₁ = x (км/ч)
Время в движении t₁ = 9/x (ч.)
Время привала t пр. = 30 мин. = 30/60 часа = 0,5 (ч.)
Время на путь до момента встречи t₁ + t пр. = 9/х + 0,5 (ч.)
Турист, вышедший из п.В :
Расстояние S₂ = 19 - 9 = 10 (км)
Скорость V₂ = x - 1 (км/ч)
Время на путь до момента встречи t₂ = 10/(x - 1) (ч.)
Так как туристы вышли навстречу друг другу одновременно, то затратили на путь до момента встречи равное количество времени:
t₁ + t пр. = t₂ ⇒ уравнение:
9/х + 0,5 = 10/(х - 1)
знаменатели не равны 0 ⇒ х≠0 ; х≠ 1
9/х + 1/2 = 10/(х - 1)
(18 + х) / 2х = 10/(х - 1)
решим, как пропорцию :
(18 + х)(х - 1) = 2х * 10
18x - 18 +x² -x = 20x
x² + 17x - 18 - 20x = 0
x² - 3x - 18 = 0
D = (-3)² - 4*1*(-18) = 9 + 72 = 81 = 9²
D>0 - два корня уравнения
х₁ = ( - (-3) - 9) /(2*1) = (3 - 9)/2 = -6/2 = - 3 не удовлетворяет условию задачи, т.к. скорость - неотрицательная величина
х₂ = ( - (-3) + 9) /(2*1) = (3 + 9)/2 = 12/2 = 6 (км/ч) скорость туриста, вышедшего из пункта А
ответ : 6 км/ч .