Рациональные выражения начинают целенаправленно изучаться в 7 классе. Причем в 7 классе познаются основы работы с так называемыми целыми рациональными выражениями, то есть, с рациональными выражениями, которые не содержат деления на выражения с переменными. Для этого последовательно изучаются одночлены и многочлены, а также принципы выполнения действий с ними. Эти все знания в итоге позволяют выполнять преобразование целых выражений. В 8 классе переходят к изучению рациональных выражений, содержащих деление на выражение с переменными, которые называют дробными рациональными выражениями. При этом особое внимание уделяется так называемым рациональным дробям (их также называют алгебраическими дробями), то есть дробям, в числителе и знаменателе которых находятся многочлены. Это в итоге дает возможность выполнять преобразование рациональных дробей. Полученные навыки позволяют перейти к преобразованию рациональных выражений произвольного вида. Это объясняется тем, что любое рациональное выражение можно рассматривать как выражение, составленное из рациональных дробей и целых выражений, соединенных знаками арифметических действий. А работать с целыми выражениями и алгебраическими дробями мы уже умеем.
1) √(15х²+2х+8)=-4х. Возводим в квадрат: 15х²+2х+8=16х² х²-2х-8=0 х1=-2, х2=4. Подставляем х1, х2 в уравнение, подходит только х=-2.
2) Если выражение под модулем неотрицательно, то x³+2x²-3x+1=-4x-1 x³+2x²+x+2=0 x²(x+2)+(x+2)=0 (x²+1)(x+2)=0 x²+1=0 действительных корней не имеет. x=-2. Подставляем в уравнение: |-8+8+6+1|=8-1 - верное равенство.
Если выражение под модулем отрицательно, то -x³-2x²+3x-1=-4x-1 х³+2х²-7х=0 х(х²+2х-7)=0 х1=0. Подставляем в уравнение: |1|≠-1, поэтому х1=0 - не подходит. х2=-1+2√2>0, поэтому правая часть отрицательна, значит не подходит. x3=-1-2√2<0, поэтому правая часть положительна, т.е. х3 подходит. ответ: -2; -1-2√2
3) Если выражение под модулем неотрицательно, то х³-3х+1=х-2 х³-4х+3=0 (х³-х)-(3х-3)=0 х(х-1)(х+1)-3(х-1)=0 (х-1)(х²+х-3)=0 х1=1<2 х2=(-1-√13)/2<2 х3=(-1+√13)/2<2 Все не подходят, т.к. в них правая часть отрицательна.
Если выражение под модулем отрицательно, то -х³+3х-1=х-2 х³-2х-1=0 х³+х²-(х²+2х+1)=0 х²(х+1)-(х+1)²=0 (х+1)(х²-х-1)=0 х1=-1<2 x2=(1+√5)/2<2 x3=(1-√5)/2<2 При всех этих иксах правая часть отрицательна, значит они не подходят. ответ: решений нет.
Возводим в квадрат:
15х²+2х+8=16х²
х²-2х-8=0
х1=-2, х2=4.
Подставляем х1, х2 в уравнение, подходит только х=-2.
2) Если выражение под модулем неотрицательно, то
x³+2x²-3x+1=-4x-1
x³+2x²+x+2=0
x²(x+2)+(x+2)=0
(x²+1)(x+2)=0
x²+1=0 действительных корней не имеет.
x=-2. Подставляем в уравнение: |-8+8+6+1|=8-1 - верное равенство.
Если выражение под модулем отрицательно, то
-x³-2x²+3x-1=-4x-1
х³+2х²-7х=0
х(х²+2х-7)=0
х1=0. Подставляем в уравнение: |1|≠-1, поэтому х1=0 - не подходит.
х2=-1+2√2>0, поэтому правая часть отрицательна, значит не подходит.
x3=-1-2√2<0, поэтому правая часть положительна, т.е. х3 подходит.
ответ: -2; -1-2√2
3) Если выражение под модулем неотрицательно, то
х³-3х+1=х-2
х³-4х+3=0
(х³-х)-(3х-3)=0
х(х-1)(х+1)-3(х-1)=0
(х-1)(х²+х-3)=0
х1=1<2
х2=(-1-√13)/2<2
х3=(-1+√13)/2<2
Все не подходят, т.к. в них правая часть отрицательна.
Если выражение под модулем отрицательно, то
-х³+3х-1=х-2
х³-2х-1=0
х³+х²-(х²+2х+1)=0
х²(х+1)-(х+1)²=0
(х+1)(х²-х-1)=0
х1=-1<2
x2=(1+√5)/2<2
x3=(1-√5)/2<2
При всех этих иксах правая часть отрицательна, значит они не подходят.
ответ: решений нет.