1.
а)x^3-2x = х(х²-2)
б)5a^2-10ab+5b^2 = 5(a^2-2ab+b^2) = 5(a-b)²
в)cm-cn+3m-3n = (cm-cn)+(3m-3n) = с(m-n)+3(m-n) = (с+3)(m-n)
2.
2(p+q)²-p(4q-p)+q² = 3p²+3q² при любых p и q
2(p+q)²-p(4q-p)+q² = 2(p²+2pq+q²) -4pq+p²+q² = 2p²+4pq+2q² -4pq+p²+q² = 3p²+3q²
таким образом, мы привели левую часть к правой, тем самым доказав, что значения выражений будут равны при любых p и q
3.
(x-3)(x+3) = x(x-2)
х²-9=х²-2х
2х=9
х=4,5
ответ: при х=4,5
4.
а)(a-3b)(a+3b)+(2b+a)(a-2b) = (a²-9b²) + (a²-4b²) = 2a²-13b²
б)(p+q)(q-p)(q²+p²) = (q²-p²)(q²+p²) = q⁴-p⁴
5.
x³-27-3x(x-3)=0
(x³-3³)-3x(x-3)=0
воспользуемся формулой разности кубов:
(х-3)(х²+3х+9)-3x(x-3)=0
(х-3)(х²+3х+9-3х)=0
х-3=0 или (х²+3х+9-3х)=0
х=3 х²+9=0
х²=-9 - решений нет
ответ: х=3
Пара чисел (2;-2) являются точкой пересечения двух графиков. заданных уравнениями системы.
Общее уравнение прямой: Ах+Ву+С=0
х=2; у=-2
1 уравнение: пусть А=4; В=-4, тогда 4х-4у+С=0
4*2-4*(-2)=16
С=0-16=-16
4х-4у-16=0
2 уравнение: пусть А=8; В=1, тогда: 8х+у+С=0
8*2+1*(-2)=14
С=0-14=14
8х+у-14=0
{4x-4y-16=0 => x-y-4=0 => x=y+4
{8x+y-14=0 => 8(y+4)+y-14=0
9y=-18
y=-2
x=-2+4
x=2
Решением данной системы является пара чисел (2;-2)
Проверка: 4x-4y-16=8x+y-14
4х-8х-4у-у-16+14=0
-4х-5у-2=0
х=2; у=-2 - -4*2-5*(-2)-2=
-8+10-2=
-10+10=0
Выразим у через х для графического решения:
{4x-4y-16=0 =>у=х-4
{8x+y-14=0 => у=-8х+14
График во вложении
1.
а)x^3-2x = х(х²-2)
б)5a^2-10ab+5b^2 = 5(a^2-2ab+b^2) = 5(a-b)²
в)cm-cn+3m-3n = (cm-cn)+(3m-3n) = с(m-n)+3(m-n) = (с+3)(m-n)
2.
2(p+q)²-p(4q-p)+q² = 3p²+3q² при любых p и q
2(p+q)²-p(4q-p)+q² = 2(p²+2pq+q²) -4pq+p²+q² = 2p²+4pq+2q² -4pq+p²+q² = 3p²+3q²
таким образом, мы привели левую часть к правой, тем самым доказав, что значения выражений будут равны при любых p и q
3.
(x-3)(x+3) = x(x-2)
х²-9=х²-2х
2х=9
х=4,5
ответ: при х=4,5
4.
а)(a-3b)(a+3b)+(2b+a)(a-2b) = (a²-9b²) + (a²-4b²) = 2a²-13b²
б)(p+q)(q-p)(q²+p²) = (q²-p²)(q²+p²) = q⁴-p⁴
5.
x³-27-3x(x-3)=0
(x³-3³)-3x(x-3)=0
воспользуемся формулой разности кубов:
(х-3)(х²+3х+9)-3x(x-3)=0
(х-3)(х²+3х+9-3х)=0
х-3=0 или (х²+3х+9-3х)=0
х=3 х²+9=0
х²=-9 - решений нет
ответ: х=3
Пара чисел (2;-2) являются точкой пересечения двух графиков. заданных уравнениями системы.
Общее уравнение прямой: Ах+Ву+С=0
х=2; у=-2
1 уравнение: пусть А=4; В=-4, тогда 4х-4у+С=0
4*2-4*(-2)=16
С=0-16=-16
4х-4у-16=0
2 уравнение: пусть А=8; В=1, тогда: 8х+у+С=0
8*2+1*(-2)=14
С=0-14=14
8х+у-14=0
{4x-4y-16=0 => x-y-4=0 => x=y+4
{8x+y-14=0 => 8(y+4)+y-14=0
9y=-18
y=-2
x=-2+4
x=2
Решением данной системы является пара чисел (2;-2)
Проверка: 4x-4y-16=8x+y-14
4х-8х-4у-у-16+14=0
-4х-5у-2=0
х=2; у=-2 - -4*2-5*(-2)-2=
-8+10-2=
-10+10=0
Выразим у через х для графического решения:
{4x-4y-16=0 =>у=х-4
{8x+y-14=0 => у=-8х+14
График во вложении