Т.к. sin(x) - непрерывная функция, она интегрируема, и можно выбирать любое разбиение с любыми точками на нем. Разобьем [a,b] на n равных частей и возьмем значения функции в левых точках получившихся отрезков: ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1
Здесь были применены формулы cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y)) Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n
y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.
Исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1
Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.
При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)
Что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1
Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)
ответ:1) 3х-у-9=0
Проверим точку А(2;-3) 3*2-(-3)-9=0 принадлежит
В(0,4;2) 3*0,4-2-9≠ не принадлежит
М(1/3;4/3) 3*1/3-4/3-9≠0 не принадлежит
2) 2х-5у+12=0
Проверим точку А(2;-3) 2*2-5(-3)+12≠0 не принадлежит
В(0,4;2) 2*0,4-5*2+12≠0 не принадлежит
М(1/3;4/3) 2/3-5*4/3+12≠0 не принадлежит
3)-х²-2у+4,16=0
Проверим точку А(2;-3) - 2² - 2(-3)+4,16≠0 не принадлежит
В(0,4;2) - 0,4²-2*2+4,16=0 принадлежит
М(1/3;4/3) - (1/3)²-2*4/3+4,16≠0 не принадлежит
4)2у+3х²-3=0
Проверим точку А(2;-3) 2*(-3)+3*(2)²-3≠0 не принадлежит
В(0,4;2) 2*2+3*(0,4)²-3≠0 не принадлежит
М(1/3;4/3) 2*4/3+3*(1/3)²-3=0 принадлежит
6)2у-3*|х|-1=0
Проверим точку А(2;-3) 2(-3)-3*|2|-1≠0 не принадлежит
В(0,4;2) 2(2)-3*|0,4|-1≠0 не принадлежит
М(1/3;4/3) 2*4/3-3*|1/3|-1≠0 не принадлежит
Объяснение:
∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1
Далее преобразуем слагаемые в разности косинусов:
sin(a + k*(b-a)/n) = sin(a + k*(b-a)/n) * sin( (b-a)/2n ) / sin( (b-a)/2n ) = 1/(2sin((b-a)/2n)) * [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)]
Здесь были применены формулы
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y))
Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n
y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.
Исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду
(b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1
Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.
∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)] = cos(a - 1/2 (b-a)/n) - cos(a + (n - 1/2)*(b-a)/n)
При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)
Что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1
Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)