Промежутками возрастания и убывания функции называются интервалы на которых функция либо возрастает, либо убывает.
Для решения данной задачи, нам необходимо сначала найти производную функции, а затем проанализировать знак производной на интервалах.
1) Функция y = 1/(x-4). Сначала найдем производную функции. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции:
y' = (-1)/(x-4)^2
Теперь проанализируем знак производной. Условие возрастания функции: y' > 0. Решим это неравенство:
(-1)/(x-4)^2 > 0
Получаем, что производная отрицательна при x < 4 и положительна при x > 4. То есть, функция возрастает на интервале (-∞, 4) и убывает на интервале (4, +∞).
2) Функция y = √(x-5). Найдем производную функции:
y' = (1/2√(x-5))
Теперь проанализируем знак производной. Условие возрастания функции: y' > 0. Решим это неравенство:
(1/2√(x-5)) > 0
Получаем, что производная положительна при x > 5. То есть, функция возрастает на интервале (5, +∞).
3) Функция y = (x^2 + x - 4)/(x^2). Найдем производную функции. Для этого приведем функцию к виду:
y = 1 + 1/x - 4/(x^2)
y' = -1/x^2 + 4/(x^3)
Теперь проанализируем знак производной. Условие возрастания функции: y' > 0. Решим это неравенство:
-1/x^2 + 4/(x^3) > 0
Для получения общего знака, умножим обе части неравенства на x^3:
-x + 4 > 0
Получаем, что производная положительна при x < 4 и отрицательна при x > 4. То есть, функция возрастает на интервалах (-∞, 4) и (0, +∞), и убывает на интервале (4, 0).
Таким образом, промежутки возрастания и убывания функций:
1) Функция y = 1/(x-4) возрастает на интервале (-∞, 4) и убывает на интервале (4, +∞).
2) Функция y = √(x-5) возрастает на интервале (5, +∞).
3) Функция y = (x^2 + x - 4)/(x^2) возрастает на интервалах (-∞, 4) и (0, +∞), и убывает на интервале (4, 0).
Для решения данной задачи, нам необходимо сначала найти производную функции, а затем проанализировать знак производной на интервалах.
1) Функция y = 1/(x-4). Сначала найдем производную функции. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции:
y' = (-1)/(x-4)^2
Теперь проанализируем знак производной. Условие возрастания функции: y' > 0. Решим это неравенство:
(-1)/(x-4)^2 > 0
Получаем, что производная отрицательна при x < 4 и положительна при x > 4. То есть, функция возрастает на интервале (-∞, 4) и убывает на интервале (4, +∞).
2) Функция y = √(x-5). Найдем производную функции:
y' = (1/2√(x-5))
Теперь проанализируем знак производной. Условие возрастания функции: y' > 0. Решим это неравенство:
(1/2√(x-5)) > 0
Получаем, что производная положительна при x > 5. То есть, функция возрастает на интервале (5, +∞).
3) Функция y = (x^2 + x - 4)/(x^2). Найдем производную функции. Для этого приведем функцию к виду:
y = 1 + 1/x - 4/(x^2)
y' = -1/x^2 + 4/(x^3)
Теперь проанализируем знак производной. Условие возрастания функции: y' > 0. Решим это неравенство:
-1/x^2 + 4/(x^3) > 0
Для получения общего знака, умножим обе части неравенства на x^3:
-x + 4 > 0
Получаем, что производная положительна при x < 4 и отрицательна при x > 4. То есть, функция возрастает на интервалах (-∞, 4) и (0, +∞), и убывает на интервале (4, 0).
Таким образом, промежутки возрастания и убывания функций:
1) Функция y = 1/(x-4) возрастает на интервале (-∞, 4) и убывает на интервале (4, +∞).
2) Функция y = √(x-5) возрастает на интервале (5, +∞).
3) Функция y = (x^2 + x - 4)/(x^2) возрастает на интервалах (-∞, 4) и (0, +∞), и убывает на интервале (4, 0).